Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 10, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 10, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 10 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de f, Déterminer la limite de f, la fonction f.
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[ BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES S \ janvier 2008

EXERCICE 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur R+ par :

f (x)= ex +e−x

2 .

On note (C) la courbe représentative de f .

1. Étudier les variations de f . Déterminer la limite de f (x) en +∞.

2. On définit la fonction h sur R+ par : h(x)= f (x)− x.

a. Résoudre l’équation ex −e−x −2= 0 ( on pourra poser X = ex )

b. En déduire que ex −e−x −2= (

ex −1− p 2 )(

ex −1+ p 2 )

.

c. Étudier les variations de h.

d. Montrer que h admet un minimumm, qui est strictement positif. Calculerm et en donner une valeur approchée à 10−2 près.

3. On définit une suite (Un) de la façon suivante :

U0 = 1 etUn+1 = f (Un) pour n entier naturel.

a. Montrer que la différenceUn+1−Un peut êtreminorée parm (calculé en 2. c.).

b. Démontrer par récurrence queUn U0> n ·m.

c. En déduire la limite de (Un).

EXERCICE 2 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1+ lnx

x .

Soit C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité graphique : 5 cm.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Déterminer les asymptotes de C .

2. Étudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle

[

1

e ; 1

]

une solution

unique, notée α. Déterminer un encadrement de α, d’amplitude 10−2. Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[.

4. Tracer la courbe C .

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny Baccalauréat blanc S :

1. a. Soit (rn)n∈N la suite géométrique réelle de premier terme r0 strictement

positif et de raison 2

3 .

Exprimer rn en fonction de r0 et n.

b. Soit (θn )n∈N la suite arithmétique réelle de premier terme θ0 appartenant

à l’intervalle [

0 ; π

2

[

et de raison 2π

3 .

Exprimer θn en fonction de θ0 et de n.

c. Pour tout entier naturel n, on pose zn = rn (cosθn + isinθn ). Sachant que z0, z1 et z2 sont liés par la relation z0z1z2 = 8, déterminer le module et un argument de z0, z1 et z2.

2. Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 4 cm), on appelle Mn le point d’affixe zn .

a. Placer les points M0, M1, M2 et M3 dans le plan P .

b. Pour tout entier n, exprimer zn+1 en fonction de zn .

c. Calculer alors MnMn+1 en fonction de n.

d. On pose ln = n

k=0 MkMk+1 =M0M1+·· ·+MnMn+1.

Calculer ln en fonction de n et déterminer la limite de ln quand n tend vers +∞.

EXERCICE 4 4 points À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté (ou la moitié s’il y a deux réponses exactes . . . ) ; une réponse inexacte enlève le quart du nombre de points affecté. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions : la question ne rapporte alors aucun point et n’en coûte aucun. Les réponses devront être justifiées : en l’absence de justification la réponse ne sera pas prise en compte. Pour chaque question, une ou plusieurs réponses sont exactes. Si le total de points est négatif, la note est ramenée à zéro.

1. Une solution de z2+2z+4= 0 est dans C :  1+ i  −

p 3− i  2ei

2π 3 −1− i

p 3 .

2. Soit z1 et z2 les nombres complexes définis par z1 = p 3− i et z2 = 2i− z1.

Alors z2 z1

= :

 p 3ei

π 2  −e−i

3π 4  2ei

π 3 

p 3ei

5π 6 .

3. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB = p 3 dans un repère

orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

. L’affixe de C, image de B par la rotation de centre A

et d’angle π

3 est :

 −i  2i  3+ i  3+2i

4. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x+ iy vérifiant la

relation arg

(

z+2

z−2i

)

= π

2 est inclus dans :

 La droite d’équation y =−x  Le cercle de centre I(−1+ i) et de rayon R = 2  La droite d’équation y = x  Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectives zA = −2 et zB = 2i.

2

M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny Baccalauréat blanc S :

5. Soit A(−i) , B(3) et C(2+3i). Le triangle ABC est : quelconque  isocèle  rectangle équilatéral

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