Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 12, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 12, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 12 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation différentielle, les fonctions solutions, l'étude d’une fonction auxiliaire.
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Terminale S – Devoir surveillé – 3 h

L’énoncé comporte quatre pages numérotées de 1 à 4. Les exercices 1, 2 et 3 sont à traiter par tous les élèves. Traiter l’exercice 4 ou l’exercice 5.

L’utilisation de la calculatrice est autorisée. La présentation et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante

dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 4 points

On se propose de résoudre l’équation différentielle

y ′−2y = xex (E)

1. On admet qu’il existe une unique fonction v0 solution de (E) vériant v0(0)= 1. Donner une équation de la tangente T à la courbe représentative de v0 en son point d’abscisse 0.

2. On considère l’équation différentielle

y ′−2y = 0 (E0)

Donner les fonctions solutions de (E0).

3. Soient a et b deux réels et soit u la fonction dénie sur R par

u(x)= (ax+b)ex .

a. Déterminer l’unique couple (a, b) tel que u soit solution de l’équation différentielle (E).

b. Montrer que v est solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si v u est solution de l’équation différentielle (E 0).

c. En déduire l’ensemble des solutions de (E).

4. Déterminer la solution v0 de l’équation (E) qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 2 7 points

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit ϕ la fonction dénie sur R par

ϕ(x)= (

x2+ x+1 )

e−x −1.

1. a. Déterminer les limites de ϕ en −1 et en +1.

b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R.

2. Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

3. En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau.

Partie B : étude de la position relative de deux courbes

Ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions f et g . Les fonctions f et g sont définies sur R par :

f (x)= (2x+1)e−x et g (x)= 2x+1

x2+ x+1 .

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

sont notéesC f et Cg .

Devoir TS A. Turbergue

1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)− g (x) = (2x+1)ϕ(x)

x2+ x+1 où

ϕ est la fonction étudiée dans la partie A.

b. À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x)− g (x) pour x ∈R.

c. En déduire la position relative des courbes C f et Cg .

1 2 3−1

1

−1

-1 0 1 2 3 4

-1

0

1 A

C f

Cg

Exercice 3 4 points

On se donne deux points distincts A0 et B0. Soit A1 le milieu du segment [A0B0] et B1 celui de [A0A1]. De façon générale, pour tout entier naturel n, on désigne par

An+1 le milieu du segment [AnBn] et Bn+1 celui de [AnAn+1].

Onmunit la droite (A0B0) du repère (

A0 ; −→ ı

)

avec −→ ı =

−−−−→ A0B0 .

On note an et bn les abscisses respectives des points An et Bn dans le repère (

A0 ; −→ ı

)

.

On a donc a0 = 0 et b0 = 1

1. Construire une droite (A0B0) en prenant A0B0= 10 cm. Sur cette droite, placer les points A1 et B1, puis les points A2 et B2. Calculer les valeurs de a1 , b1 , a2 et b2.

2. Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .

3. Démontrer que la suite (un )n∈N définie par un = an bn est géométrique.

4. Démontrer que la suite (wn)n∈N définie par wn = 3an +2bn est constante.

5. Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont-elles convergentes ? Que peut-on en déduire pour les points An et Bn lorsque n tend vers +∞ ?

Lycée Pierre Mendès-France Tunis 2 18 décembre 2007

Devoir TS A. Turbergue

Exercice 4 5 points

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

d’unité

graphique 3 cm. Soit A, B et C les points d’affixes respectives i , 1+ i et −1− i. On appelle f l’application du plan P privé de A dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z (z 6= i ) associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z2

i− z .

1. a. Placer les points A,B et C sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. Que peut-on dire des points B et C ?

b. Déterminer les affixes des points B′ et C′ images de B et C par l’applica- tion f . Placer ces points.

2. Déterminer les affixes des points invariants par f (les pointsM vérifiant f (M)= M).

3. L’application f conserve-t-elle l’alignement ? le milieu ?

4. On pose z = x+ i y et z ′ = x′+ i y ′ avec x, y, x′ et y ′ réels.

a. Démontrer que

x′ = −x(x2+ y2−2y)

x2+ (1− y)2 .

b. En déduire l’ensemble E des points M(z) tels que z ′ soit un imaginaire pur. Représenter l’ensemble E .

Exercice 5 5 points

Partie A : questions préliminaires

Les résultats de cette partie pourront être admis et utilisés pour traiter la partie B.

On rappelle le théorème suivant du cours :

«Une suite croissante et nonmajorée diverge vers +∞.»

En utilisant ce théorème, démontrer que :

«Une suite croissante et non convergente diverge vers +∞.»

Calculer les réels a et b tels que :

(x+1)(x2+ax+b)= x3− x2+2.

En déduire les solutions de l’équation : x = x2+ 2

x Partie B : étude d’une suite

On considère la suite (un ) définie par : u0 = 2 et pour tout n ∈N, un+1 =u2n + 2

un Soit f la fonction définie sur [ 1 ; +∞ [ par l’expression :

f (x)= x2+ 2

x .

On pourra admettre que f est dérivable et croissante sur [1 ; +∞[.

1. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

2. Démontrer que si la suite (un ) converge vers une limite , alors f ()=

3. Donner la conclusion la plus précise possible sur le comportement de la suite (un ).

Lycée Pierre Mendès-France Tunis 3 18 décembre 2007

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