Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 13, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 13, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, la suite des longueurs des segments.
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Examen de maturité 2007 – Suisse

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

Exercice 1

Soit le nombre complexe z =α+ 1

2 i, α ∈R+.

1. Déterminer en fonction de α le module et l’argument de z ainsi que de zn , n > 1.

2. Pour quelle(s) valeur(s) deα la suite des nombres complexes z, z2, z3, ..., zn , ..., représentés dans le plan de Gauss, se rapproche-elle de l’origine ? s’éloigne-t-elle de l’origine ? reste-t-elle à distance constante de l’origine ?

3. Déterminer la plus petite valeur de α strictement positive pour laquelle le nombre z6 ∈R.

Pour la suite de cette première partie, on pose α= 1

2 .

4. Déterminer n0 ∈ N∗ tel que pour tout n > n0, zn est situé à l’intérieur du

disque centré à l’origine et de rayon r = 1

100 .

5. Calculer en fonction de n le module de zn+1− zn = zn(z −1). Que repré- sente géométriquement ce module ?

6. Démontrer que la suite des longueurs des segments [

zn zn+1 ]

est une suite géométrique puis calculer la longueur de la ligne polygonale

[

zz2z3...zn ]

lorsque n tend vers infini.

Exercice 2

Les fonctions f (x) et g (x) possèdent les propriétés suivantes :

1. La fonction f (x) est solution de l’équation différentielle 2x y ′−3y = 0.

2. La fonction g (x) est solution de l’équation différentielle y ′′ = 2.

3. Les courbes représentatives des fonctions f (x) et g (x) se coupent au point I(4 ; 8).

4. La pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction g (x) au point I est égale à 10.

Déterminer les fonctions f (x) et g (x).

Exercice 3

On donne les quatre points A(-6 ; 1 ; 2), B(-3 ; 5 ; 5), C(-2 ; -2 ; 1) et

D(8 ; -1 ; 1) ainsi que la droite a :

x = 5+2t y = −1+2t z = 4− t

On note π le plan (ABC), K le cylindre d’axe a et de rayon 3, et enfin α désigne le plan d’équation : −x +2y +2z +8= 0.

1. Écrire l’équation cartésienne du plan π.

Examen de maturité Suisse

2. Calculer l’angle formé par la droite a et le plan π.

3. Montrer que le point D appartient au cylindre K .

4. Déterminer l’équation de la sphèreΣ tangente intérieurement au cylindre K en un cercle passant par le point D.

5. Montrer que le plan α contient le point D et qu’il est tangent au cylindre K .

6. Calculer les coordonnées du point I qui est l’intersectionde la génératrice du cylindre K passant par D et du plan π.

7. Écrire une représentation paramétrique de la droite t contenue dans le plan π et tangente au cylindre K au point I.

Exercice 4

Une urne contient 10 boules noires et n boules rouges. L’expérience E consiste à tirer simultanément 2 boules de l’urne. On note p1 la probabilité d’obtenir deux boules de couleur différente, p2 la probabilité d’obtenir deux boules noires et p3 la probabilité d’obtenir deux boules rouges.

1. Montrer que la probabilité p1 peut être exprimée par p1 = 20n

n2+19n +90 .

2. Pour unemise de 5 francs, un joueur peut réaliser l’expérience E. Le joueur gagne 10 francs s’il obtient deux boules de couleur différente et ne gagne rien dans les autres cas.

Déterminer les valeurs de n pour lesquelles le jeu est favorable au joueur.

Pour la suite du problème, on pose n = 5.

3. Calculer les probabilités p1, p2 et p3.

4. L’expérience E est réalisée 4 fois (on remet dans l’urne les deux boules tirées après chaque expérience). Calculer la probabilité des évènements suivants.

A : « Obtenir exactement 3 fois deux boules noires. »

B : « Obtenir exactement 2 fois deux boules noires et 1 fois deux boules rouges. »

C : « Exactement 3 boules rouges ont été sorties de l’urne au cours des quatre expériences. »

D : « Obtenir exactement une fois deux boules rouges sachant qu’exacte- ment deux expériences ont donné deux boules de couleur différente. »

5. Combien de fois faut-il réaliser l’expérience E pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois deux boules de couleur différente soit su- périeure à 0,99 ?

6. ϕ L’expérience E est réalisée 150 fois.

Calculer une valeur approximative de la probabilité d’obtenir entre 70 et 80 fois deux boules de couleur différente (bornes comprises) en justifiant votreméthode de calcul.

2 fvrier 2008

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