Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 15, Exercices de Géométrie analytique et calcul
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Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 15, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 15 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étude du cas général, Étude de la fonction, Étude et propriétés des fonctions.
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[ Baccalauréat blanc\ février 2008

EXERCICE 1 6 points

Partie A. R. O. C. Pré-requis : forme algébrique d’un nombre complexe

1. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : z =−z.

2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel, si et seulement si : z = z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : z× z = |z|2.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal . On se propose de démontrer,

à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux

distincts, d’affixes respectives a, b, c et dont le centre du cercle circonsrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a+b+c.

Partie B : étude d’un cas particulier On pose a = 3+ i ; b =−1+3i ; c =−

p 5− i

p 5.

1. Vérifier que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a+b+c, puis vérifier graphique- ment que H est l’orthocentre du triangle ABC.

Partie C : étude du cas général ABC est un triangle dontO est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.

1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :

a×a = b×b = c×c .

2. On pose ωb×cb×c. a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans

la partie A, démontrer que ω est un imaginaire pur.

b. Verifier l’égalité (b+c) (

bc )

=ω et justifier que : b+c bc

= ω

|bc|2 .

c. En déduire que le nombre complexe b+c bc

est imaginaire pur.

3. Soit H le point d’affixe a+b+c.

a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs −−→ AH et

−−→ CB .

b. Prouver que (−−→ CB ;

−−→ AH

)

= π

2 +, où k est un entier relatif quelconque.

(On admet de même que (−−→ CA ;

−−→ BH

)

= π

2 +, avec k entier relatif).

c. Que représente le point H pour le triangle ABC?

EXERCICE 2 4 points

Soit la suite (un ) définie pour tout entier natureln par :u0 = 1

2 etun+1 =

1

2

(

un + 2

un

)

.

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x)= 1

2

(

x+ 1

x

)

.

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a. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le planmuni d’un repère orthonormal . (On prendra comme unité 2 cm).

b. Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l’axe

(

O ; −→ ı

)

d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un > p 2.

b. Montrer que pour tout x > p 2, f (x)6 x.

c. En déduire que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouver que la suite (un ) converge.

3. Soit la limite de la suite (un ). Montrer que est solution de l’équation

x = 1

2

(

x+ 1

x

)

. En déduire sa valeur.

EXERCICE 3 5 points non spécialitémathématiques Unparachutiste tombe à la vitesse de 55m.s−1 aumoment où sonparachute s’ouvre. On fixe l’origine du temps (t = 0 en secondes) à ce moment-là. Pour tout t ∈ R, on note v(t) la vitesse en m.s−1 et d(t) la distance parcourue en mètres à l’instant t .

On admet que y est solution de l’équation différentielle v ′(t)= 10 (

1− v2(t)

25

)

: (E)

Par ailleurs, il a été établi que la distance parcourue à l’instant t est : d(t)= 1

v(t)−5 .

1. Expliquer pourquoi, pour un temps suffisamment grand, là vitesse du para- chutiste est stabilisée.

On se propose donc de trouver une équation différentielle vérifiée par d et de la résoudre afin de déterminer la vitesse du parachutiste, lorsque celle-ci est stabilisée.

2. Questions de cours :

a. Donner toutes les solutions de l’équation différentielle : y ′−my = 0. b. Donner toutes les solutions de l’équation différentielle : y ′−my = b.

3. a. Montrer que : v(t)= 1

d(t) +5.

b. Exprimer v ′(t) en fonction de d(t) et de d ′(t).

c. Exprimer v2(t) en fonction de d(t).

d. Prouver que y est solution de (E) si et seulement si, d est solution de l’équation : (E′) d ′ = 4d +0,4.

4. Donner la valeur de v(0), puis calculer d(0). En déduire l’expression de la distance d(t) parcourue à l’instant t .

5. Exprimer alors v(t) en fonction de t ; puis calculer la limite de v(t) quand t tend vers +∞. Interpréter ce résultat.

EXERCICE 4 5 points Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0 ; +∞[ par

fk (x)= ln (

ex +kx )

x. Soit Ck la courbe représentative de la fonction fk , dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées).

Partie A. Étude de la fonction f1 définie sur [0 ; +∞[ par f (x)= ln(ex + x)x.

Baccalauréat blanc 2 février 2008

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1. Calculer f ′1(x) pour tout réel de l’intervalle [0 ; +∞[ et en déduire le sens de variation de la fonction f1.

2. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, f1(x) = ln (

1+ x

ex

)

. En

déduire la limite de f1 en +∞. 3. Dresser le tableau de variations de f1.

Partie B. Étude et propriétés des fonctions fk . (rappel : k est un par215amètre réel strictement positif)

1. Calculer f k (x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[ et en déduire le sens de

variation de la fonction fk .

2. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, fk (x) = ln (

1+k x

ex

)

. En

déduire la limite de fk en +∞. a. Dresser le tableau de variations de la fonction fk .

b. Établir que pour tout réel x de [0 ; +∞[, ln(1+ x)6 x.

c. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, on a fk (x)6 k

e .

3. Déterminer une équation de la tangente Tk à Ck au point O.

4. Soit p etm deux réels strictement positifs tels que p <m. Étudier les positions relatives de Cp , et Cm .

5. Tracer les courbesC1 etC2 ainsi que leurs tangentes respectives T1 et T2 en O.

EXERCICE 5 5 points Spécialitémathématiques

1. On considère l’ensemble A7 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. a. Pour tout élément a de A7 écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élé-

ment y de A7 tel que ay ≡ 1 [7] (soit modulo 7).

a 1 2 3 4 5 6 y

b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3x ≡ 5 [7] équivaut à x ≡ 4 [7].

c. Si a est un élément de A, montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation ax ≡ 0 [7] sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l’ensemble Ap = {1 ; 2 ; · · · ; p−1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de Ap .

a. Vérifier que ap−2 est une solution de l’équation ax ≡ 1 [p]. b. On note r le reste dans la division euclidienne de ap−2 par p. Démontrer

que r est l’unique solution dans Ap de l’équation ax ≡ 1 [p]. c. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que xy ≡ 0 [p] si et seule-

ment si x est unmultiple de p ou y est un multiple de p.

d. Application : p = 31. Résoudre dans A31 les équations 2x ≡ 1 [31] et 3x ≡ 1 [31]. À l’aide des résultats précédents résoudre dans Z l’équation 6x2−5x+1= 0 [31].

Baccalauréat blanc 3 février 2008

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