Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 3, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 3 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: restitution organisée de connaissances, construction d’un pentagone régulier, la spécialitéMathématiques.
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Bacblanc29.2.2008Turbergue.dvi

[ Baccalauréat blanc TS 29 février 2008\

Lycée Pierre Mendès-France Tunis L’utilisation de la calculatrice est autorisée. Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète, qu’il aura développée. Il est

rappelé que la présentation, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 7 points

Partie A : restitution organisée de connaissances

Prérequis : on utilisera exclusivement les résultats rappelés ci-dessous

a. la forme algébrique des nombres complexes et les règles de calcul correspon- dantes,

b. la définition de l’exponentielle complexe : pour tout réel θ, eiθ = cosθ+isinθ

c. les formules d’addition suivantes : pour tous réels θ et θ′,

cos(θ+θ′)= cosθcosθ′− sinθ sinθ′ et sin(θ+θ′)= sinθcosθ′+cosθ sinθ

1. Démontrer que pour tous réels θ et θ′, ei(θ+θ ′) = eiθ ×eiθ

′ .

2. En déduire que pour tout réel θ et pour tout entier n de N, (

eiθ )n

= ei.

Partie B : construction d’un pentagone régulier

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

. L’unité graphique

est 4 cm. On. pose

w = ei 2π 5 .

1. Simplifier w5 puis calculer 1+w +w2+w3+w4.

2. Montrer que pour tout nombre complexe z non nul,

1

z2

(

1+ z+ z2+ z3+ z4 )

=

(

z+ 1

z

)2

+

(

z+ 1

z

)

−1.

3. a. Résoudre dans C l’équation Z 2+Z −1= 0.

b. En déduire la valeur exacte de cos

(

2π

5

)

.

4. On note K, A et B. les points d’affixes respectives − 1

4 , 1

2 i et w .

Soit C le cercle de centre K passant par A.

a. Déterminer une équation du cercle C .

b. Le cercle C coupe l’axe (

O ; −→ u

)

en deux points H et H′ (H étant d’abs-

cisse positive).

Montrer que H a pour abscisse cos

(

2π

5

)

.

c. En déduire une construction géométrique simple du point B.

d. Achever la construction du pentagone régulier de centre O dont B est un sommet (expliquer et justifier).

Exercice 2 5 points

Réservé aux élèves n’ayant pas choisi la spécialitéMathématiques

On considère l’équation différentielle

(R) : y y ′ = ex

x2

et on cherche l’ensemble des solutions de cette équation définies sur ]0 ; +∞[.

Baccalauréat blanc

1. a. Démontrer que la fonction u définie sur ]0 ; +∞[ par u(x)= ex

x2 est solu-

tion de (E).

b. Démontrer qu’une fonction v définie sur ]0 ; +∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonction v u, définie sur ]0 ; +∞[, est solution de l’équation différentielle y y ′ = 0.

c. En déduire toutes les solutions définies sur ]0 ; +∞[[ de l’équation (E).

2. Pour tout réel k négatif ou nul, on considère la fonction fk définie sur ]0 ; +∞[ par :

fk (x)= kx+1

x ex .

a. Déterminer les limites de fk en 0 et en +∞.

b. Calculer f k (x) pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ et déterminer le

nombre de solutions sur ]0 ; +∞[ de l’équation fk (x)= 0.

3. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk , dans un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On a tracé sur le graphique ci-dessous les courbes C−1, C−0,25, C−0,15 et C0. En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les réponses doivent être justifiées).

1 2 3 4 5 6 7−1

10

20

30

−10

−20

Courbe a

Courbe b

Courbe c

Courbe d

Exercice 2 5 points

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b)= 1 alors PGCD

(

a2 ; b2 )

= 1. La suite (Sn) est définie pour n ∈N par

Sn = n

p=1 p3.

On se propose de déterminer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand com- mun diviseur de Sn et Sn+1.

1. Démontrer que, pour tout entier n > 0, Sn =

[

n(n+1)

2

]2

.

A. Turbergue 2 29 février 2008

Baccalauréat blanc

2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.

a. Démontrer, que PGCD(S2k ; S2k+1)= (2k+1) 2PGCD

(

k2 ; (k+1)2 )

.

b. Montrer que k et k+1 sont premiers entre eux.

c. En déduire PGCD(S2k ; S2k+1).

3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k+1.

a. Démontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entre eux.

b. Déterminer PGCD(S2k+1 ; S2k+2).

4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.

Exercice 3 2 points

Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et

donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte

aucun point.

1. Soit f une solution de l’équation différentielle y ′ =−2y +2, f n’étant pas une fonction constante. Affirmation 1 : la représentation graphique de f dans un repère du plan, n’ad- met aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses.

2. Soit g la fonction, définie sur [0 ;+∞[ par g (x)= p x lnx si x > 0 et g (0)= 0.

Affirmation 2 : la fonction g est dérivable en zéro.

Exercice 4 6 points

1. Déterminer la limite en +∞ de la fonction ϕ : x 7−→ ln

(

x2+1 )

x .

2. Soit n un entier naturel non nul, n étant fixé pour cette question. On définit la fonction f , sur [0 ; +∞[ par

fn(x)= 2x−2+ ln

(

x2+1 )

n

a. Déterminer la limite de fn en +∞.

b. Calculer la dérivée de fn sur [0 ; +∞[.

c. Dresser le tableau de variations de fn .

d. En déduire que l’équation d’inconnue x, fn (x) = 0 admet une unique solution αn dans [0 ; +∞[.

e. Justifier que 0<αn < 1.

3. Prouver que pour tout entier naturel n non nul, ln (

α2n +1 )

= 2n (1−αn ). En déduire que fn+1 (αn)< 0.

4. Étude de la suite (αn)n∈N∗

a. À l’aide de la calculatrice, proposer sans justification, des valeurs déci- males approchées à 10−2 près de α1, α4 et α10.

b. Démontrer que la suite (αn) est croissante.

c. En. déduire qu’elle est convergente..

d. Dans cette dernière question, toute trace de recherche, même incomplète,

ou d’initiativemême infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la limite de cette suite.

A. Turbergue 3 29 février 2008

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