Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le graphique, les points de coordonnées, l’équation différentielle.
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TalesS - Bac Blanc (4 H) - Le 27/02/2008 - Énoncé

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées.

• Si vous n’avez pas choisi l’enseignement de spécialité, vous devez traiter les exercices 1, 2, 3 et 4.

• Si vous avez choisi l’enseignement de spécialité, vous devez traiter les exercices 1, 2, 3 et 5.

La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Cet énoncé est à remettre avec la copie.

Exercice 1. (3 points) On considère la suite (un) définie par :

u0 = 0

Pour tout n ∈ N, un+1 = 4

4− un

1/ a) Calculer u1, u2 et u3.

b) Le graphique ci-dessous représente sur [0 ; +∞[ et dans un repère orthogonal (

O ; −→ i ,

−→ j )

la courbe Γ

d’équation y = 2x

x+ 1 .

1 2 3

1

Γ

O x

y

~i

~j

Lycée Albert Calmette, Nice 1 / 7 Tournez la page SVP

Placer sur le graphique les points de coordonnées (k, uk) pour k = 0, 1, 2 et 3.

2/ Déduire de la question précédente une conjecture de l’expression de un en fonction de n puis démontrer

cette conjecture.

2 / 7

Exercice 2. (7 points) Soit l’équation différentielle :

(E) : y′ + y = e−x

où y est une fonction de la variable x, dérivable sur R.

1/ f est la solution de (E) vérifiant f(0) = −1. On note Cf sa courbe représentative dans un repère.

a) Calculer f ′(0).

b) En déduire une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 0.

2/ Soit g la fonction définie pour tout x ∈ R par g(x) = (x− 1) e−x. On note Cg sa courbe représentative

dans un repère.

a) Déterminer la limite de g en −∞ et la limite de g en +∞.

b) Vérifier que pour tout x ∈ R on a :

g′(x) = (2− x) e−x

puis que g est solution de (E).

c) Dresser le tableau des variations de g sur R.

d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 0.

3/ Soit l’équation différentielle :

(F ) : y′′ + 2 y′ + y = 0

où y est une fonction de la variable x, deux fois dérivable sur R.

a) Vérifier que g est solution de (F ).

b) Montrer que si ϕ est solution de (E) alors ϕ est solution de (F ).

c) Pour quelle valeur du réel a, la fonction x 7−→ eax est-elle solution de (F ) ?

d) Peut-on dire que si ϕ est solution de (F ) alors ϕ est solution de (E) ? Justifier la réponse.

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Exercice 3. (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les quatre questions sont

indépendantes. Pour chaque question, il y a deux conclusions correctes. Vous devez indiquer sur votre

feuille de copie les deux réponses que vous jugez correctes. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0, 5 point. Chaque réponse fausse enlève 0, 25 point. Une abstention ne

rapporte aucun point tout comme si plus de deux réponses sont proposées. Un total des points négatif sera

ramené à zéro.

On considère trois suites (un), (vn) et (wn) qui vérifient la propriété suivante :

Pour tout entier naturel n strictement positif : un 6 vn 6 wn

1/ Si la suite (vn) tend vers −∞ alors :

a) la suite (wn) tend vers −∞

b) la suite (un) est majorée

c) la suite (un) tend vers −∞

d) la suite (wn) n’a pas de limite

2/ Si un > 1, wn = 2 un et lim n−→+∞

un = ℓ (ℓ ∈ R) alors :

a) lim n−→+∞

vn = ℓ

b) la suite (wn) tend vers +∞

c) lim n−→+∞

(wn − un) = ℓ

d) on ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non

3/ Si lim n−→+∞

un = −2 et lim n−→+∞

wn = 2, alors :

a) la suite (vn) est majorée

b) lim n−→+∞

vn = 0

c) la suite (vn) n’a pas de limite

d) on ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non

4/ Si un = 2n2 − 1

n2 et wn =

2n2 + 3

n2 , alors :

a) lim n−→+∞

wn = 0

b) lim n−→+∞

vn = 2

4 / 7

c) lim n−→+∞

un = 2

d) la suite (vn) n’a pas de limite

Exercice 4. (6 points) Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ;−→u ,−→v ). On prendra 1 cm pour unité gra-

phique. On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives :

a = 3

2 + 6i b =

3

2 − 6i c = −3−

1

4 i p = 3 + 2i

1/ Cette question est une restitution organisée de connaissances.

Montrer que les affixes z et z′ d’un point quelconque M du plan et de son image M′ par l’homothétie de

centre Ω d’affixe ω et de rapport k ∈ R sont liées par la relation :

z′ − ω = k (z − ω)

2/ a) Déterminer l’affixe q du point Q, image du point B par la translation t de vecteur −→w d’affixe −1+ 5

2 i.

b) Déterminer l’affixe r du point R, image du point P par l’homothétie h de centre C et de rapport − 1

3 .

c) Déterminer l’affixe s du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d’angle − π

2 .

d) Placer les points A, B, C, P, Q, R et S.

3/ a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

b) Calculer le rapport r − q

p− q . On écrira le résultat sous forme exponentielle.

c) En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

4/ Démontrer que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C dont on précisera

l’affixe du centre et le rayon.

5/ La droite (AP) est-elle tangente à C ? Justifier la réponse.

Exercice 5. (4 points)

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On rappelle le (petit) théorème de Fermat :

si p est un nombre premier qui ne divise pas l’entier naturel a, alors on a la congruence

ap−1 ≡ 1 [p]

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Partie A

1/ a) Prouver que 29 est un nombre premier.

b) Soit x ∈ N et n un entier naturel tel que n ≡ 1 mod 28.

En utilisant le théorème de Fermat, prouver que xn ≡ x [ ] 29.

2/ On considère l’équation (E) : 17x− 28y = 1 où (x, y) ∈ Z2. a) Quel théorème permet d’affirmer que

l’équation (E) admet au moins un couple solution d’entiers relatifs ? b) En utilisant l’algorithme d’Euclide,

trouver un tel couple solution.

Partie B

Soit A = {x ∈ N, x < 29} = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 28}

Pour x ∈ A, on note f(x) le reste de la division euclidienne de x17 par 29 et g(x) le reste de la division

euclidienne de x5 par 29.

3/ a) Prouver que f(x) ∈ A et x17 ≡ f(x) mod 29.

On admettra (la démonstration est analogue) que g(x) ∈ A et x5 ≡ g(x) mod 29.

b) Pour x ∈ A, prouver que g[f(x)] = x.

4/ Applications :

On attribue à chaque lettre de l’aphabet et aux deux signes ≪ + ≫ et ≪ − ≫, l’entier donné par le tableau

ci-dessous :

a b c d e f g h i j k l m n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

o p q r s t u v w x y z + −

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

a) Bob code le mot ≪ GAUSS ≫ à l’aide de la fonction f et envoie le message codé à Alice.

Voici le codage des deux premières lettres ≪ G ≫ et ≪ A ≫ :

6 / 7

Message initial G A

Entier associé 7 1

Utilisation de f 717 ≡ 24 mod 29 117 ≡ 1 mod 29

Message codé X A

Compléter son message.

b) Alice reçoit le message suivant, codé par Bob, à l’aide de la fonction f :

J I L L R

Décrypter ce message à la place d’Alice.

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