Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Télécharge Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 5 et plus Exercices au format PDF de Géométrie analytique et calcul sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat blanc TS spécialité \ Lycée Maupassant Rouen Le sujet comporte 4 pages et une annexe , à rendre avec la copie. EXERCICE 1 : Q. C. M. 4 points Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes (bien que les deux dernières fassent référence au même nombre) et sont notées sur un point chacune. Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée. Chaque ré- ponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune ne rap- porte aucun point. Si, par l’application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro. 1. On considère trois suites (un ) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un 6 vn 6 wn , lim n→+∞ un =−1, et lim n→+∞ wn = 1. Alors a. lim n→+∞ vn = 0 ; b. La suite (un ) est minorée ; c. Pour tout n de N, on a −1 6 vn 6 1. d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non. 2. Deux suites (xn ) et ( yn ) sont définies pour n > 0 par les relations : xn = 1 n + 1 n+1 +·· ·+ 1 2n et yn = 1 n+1 + 1 n+2 +·· ·+ 1 2n . a. Les suites (xn) et ( yn ) sont toutes deux croissantes. b. x3 = 19 20 et y3 = 37 60 . c. Les suites (xn) et ( yn ) ne sont pas majorées. d. Les suites (xn) et ( yn ) sont adjacentes. 3. Si z =−5 ( 1+ i p 3− i ) , alors l’argument de z est : a. −5×arg ( 1+ i p 3− i ) b. π+arg(1+ i)−arg (p 3− i ) c. 4π 3 d. − 7π 12 4. Si z =−5 ( 1+ i p 3− i ) , alors le module de z est : a. |1+ i| | p 3− i| b. 5 p 2 c. −5× |1+ i| | p 3− i| 1 d. 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 5− i p 3+ i ∣ ∣ ∣ ∣ EXERCICE 2 7 points Le but de l’exercice est démontrer que l’équation (E) : ex = 1 x , admet une unique solution dans l’ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicité de la solution On note f la fonction définie sur R par : f (x) = x −e−x . 1. Démontrer que x est solution de l’équation (E) si et seulement si f (x) = 0. 2. Étude du signe de la fonction f . a. Étudier le sens de variations de la fonction f sur R. b. En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée α. c. Démontrer que appartient α à l’intervalle [ 1 2 ; 1 ] . d. Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α]. II. Deuxième approche On note g la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par : g (x) = 1+ x 1+ex . 1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 est équivalente à l’équation g (x) = x. 2. En déduire que α est l’unique réel vérifiant : g (α) =α. 3. Calculer g ′(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; α]. III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite On considérera la suite (un ) définie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par : un+1 = g (un ). 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 6 un 6 un+1. 2. En déduire que la suite (un ) est convergente. On note ℓ sa limite. 3. Justifier l’égalité : g (ℓ)= ℓ. En déduire la valeur de ℓ. 4. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale. EXERCICE 3 (SPÉCIALITÉ) 4 points Partie A Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a2 −b2 où a et b sont deux entiers naturels. 1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité. 2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q . 2