Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’unité graphique, les points du plan complexe d’affixes, l’équation différentielle.
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[ Baccalauréat blanc 15 janvier 2008 \

Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . L’unité graphique est 2 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument

π

2 .

On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :

z −4

z = i.

Ecrire la solution sous forme algébrique.

2. Résoudre dans C l’équation z2 − 2z + 4 = 0. Ecrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soient A, B, A′ et D les points du plan complexe d’affixes respectives :

a = 2, b = 4, a′ = 2i et d = 2+2i.

Quelle est la nature du triangle ODB?

4. Soient E et F les points d’affixes respectives : e = 1− i p 3 et f = 1+ i

p 3.

Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C ′ le cercle de centre A′ et de rayon 2.

Soit r la rotation de centre O et d’angle + π

2 .

a. On désigne par E′ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e

du point E′.

b. Démontrer que le point E′ est un point du cercle C ′.

c. Vérifier que : e d = ( p 3+2)

(

e ′−d )

. En déduire que les points E, E′ et D sont alignés.

6. Soit D′ l’image du point D par la rotation r . Démontrer que le triangle EE′D′

est rectangle.

Exercice 2

Partie A On dispose d’une boite de 13 craies. Parmi ces craies, 4 sont rouges, 3 sont jaunes et 6 sont blanches. On tire au hasard et simultanément 3 craies.

1. Quelle est la probabilité de tirer 3 craies blanches ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 craies de la meme couleur ?

3. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une craie jaune ?

Partie B On suppose maintenant que la boite contient 4 craies rouges, 3 craies jaunes et n craies blanches, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 6. On tire 2 craies successivement sans remise. On note pn la probabilité de tirer deux craies blanches.

1. Calculer pn .

2. Déterminer n pour que : pn > 0,9.

Baccalauréat blanc (obligatoire)

Exercice 3

Partie A Résolution de l’équation différentielle (1) : y ′−2y = xex .

1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y ′−2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par

u(x)= (ax +b)ex .

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).

b. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u+v est solution de l’équation (1).

c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Partie B Étude d’une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur par

g (x)= 2ex x −2.

1. Déterminer la limite de g en −1 et la limite de g en +1.

2. Etudier le sens de variation de g, puis dresser son tableau de variations.

3. On admet que léquation g (x)= 0 a exactement deux solutions réelles.

a. Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.

b. L’autre solution est appelée α. Montrer que −1,66α6−1,5.

4. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs du réel x.

Partie C Étude de la fonction principale Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= e2x − (x +1)ex

1. Déterminer la limite de f en −1 et la limite de f en +1. (On pourra mettre e2x

en facteur.)

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) et g (x) ont le meme signe. Étudier le sens de variations de f .

3. Montrer que f (α)=− α 2+2α

4 où α est défini dans la partie B.

En déduire un encadrement de f (α). (On rappelle que −1,66α6−1,5.)

4. Établir le tableau de variations de f .

5. Tracer la courbe (C ), reprde f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

P. Warnaut 2 15 janvier 2008

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