Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (40.5 KB)
3 pages
140Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction dérivée, le repère orthonormal direct, les nombres réels.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
BacblancTSF.Laroche02.08.dvi

Bacalauréat blanc - TS Lycée La Merci – Montpellier

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

Exercice 1 5 points

Non spécialistes uniquement

On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= ex − lnx

et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique ; 2 cm).

1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= xex −1.

b. En déduire qu’il existe un réel positif unique α tel que : αeα = 1. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−3.

c. Préciser le signe de g (x) selon les valeurs de x.

2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[. b. Calculer la fonction dérivée f ′ de f et étudier son signe sur ]0 ; +∞[ en

utilisant la question 1. Dresser le tableau des variations de f .

c. Montrer que f admet unminimum m égal à α+ 1

α .

Justifier que : 2,326m 6 2,34.

3. Donner une équation de la tangente T à C en son point d’abscisse 1. Déter- miner le point d’intersection de T et de l’axe des ordonnées.

4. Tracer C et T.

Exercice 2 6 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique 1 cm). On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :

z3+ (−8+ i)z2+ (17−8i)z+17i= 0.

I. Résolution de l’équation (E)

1. Montrer que −i est solution de (E). 2. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que :

z3+ (−8+ i)z2+ (17−8i)z+17i= (z+ i) (

az2+bz+c )

.

3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

II. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+ i, 4− i, −i. 1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.

2. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de

centreΩ et d’angle de mesure 2 π

2 . Calculer l’affixe de S.

3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à unmême cercle (C ) dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer (C ).

4. À tout point M d’affixe z 6= 2, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = iz+10−2i

z−2 .

Devoir TS F. Laroche

a. Déterminer les affixes des points A′, B′, C′ associés respectivement aux points A, B et C.

b. Vérifier que A′, B′, C′ appartiennent à un cercle (C ′) de centre P, d’affixe i. Déterminer son rayon et tracer (C ′).

c. Pour tout nombre complexe z 6= 2, montrer que ∣

z ′− i ∣

∣= 10

|z−2| . Donner

une interprétation géométrique de cette relation.

d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C ). Démontrer que ∣

z ′− i ∣

∣= 2 p 5.

e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M ′ associés aux points M du cercle (C ).

Exercice 3 4,5 points

Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d’évolu- tion de la forme

N ′(t)= 2N (t)−0,0045[N (t)]2 (1)

t est le temps exprimé en heures.N (t) représente le nombre d’individus présents dans l’enceinte à l’instant t ; à t = 0 on a N (0)= 1 (en milliers).

1. On pose y(t)= 1

N (t) ; montrer que y est solution d’une équation différentielle

(E) du type y ′ = ay +b. 2. Résoudre (E).

3. En déduire que la solution de (1) est N (t)= 1

0,99775e−2t +0,00225 .

4. Étudier les variations de N .

5. Montrer queN (t)= e2t

0,99775+0,00225e2t . Déduisez-enuneprimitive deN (t).

6. On appelle nombre moyen de bactéries la limite quand T tend vers +∞ de 1

T

T

0 N (t)dt . Calculer cette intégrale et en déduire le nombre moyen de bac-

téries dans l’enceinte.

Exercice 4 5,5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= (x−1) (

2−e−x )

.

Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a. Étudier la limite de f en +∞. b. Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x−2 est asymptote à C . c. Étudier la position relative de C et ∆.

2. a. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= xe−x +2(1−e−x ). b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f ′(x)> 0. c. Préciser la valeur de f ′(0) puis établir le tableau de variations de f .

3. a. Rappeler la démonstration de la formule d’intégration par parties.

b. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbeC , la droite∆ et les droites d’équa- tions x = 1 et x = 3. En donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près.

Lycée LaMerci Montpellier 2 février 2008

Devoir TS F. Laroche

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative

même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à ∆.

b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite∆. En donner une valeur approchée à 10−2 près.

Lycée LaMerci Montpellier 3 février 2008

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome