Travaux pratiques de mathématique 1 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 1 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires. Université Bordeaux I

PDF (588.0 KB)
7 pages
157Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de mathématique sur les fonctions et les courbes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, la représentation graphique, la courbe représentative de f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Première L

Fonctions et Courbes

On a relevé, dans le port de Dunkerque les hauteurs d'eau le 11 septembre 1999.

Les résultats sont donnés sur le graphique suivant :

A chaque instant x de la journée correspond une hauteur d'eau et une seule.

On dit que la hauteur de l'eau est fonction de l'heure.

On peut lire sur le graphique que la hauteur de l'eau à 7 heures est de 1,7 m environ.

Définition

Soit D une partie de l'ensemble .

On définit une fonction f de D dans , en associant à chaque réel x de D, un réel et un seul noté f(x) et que l'on appelle l'image de x par f.

La fonction est notée

: ,

( ).

f D

x f x

L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f.

Remarque

Dans l'exemple précédent f(x) désigne la hauteur de l'eau à l'heure x on notera donc

:[0 ; 24] ,

( ).

f

x f x

D'après le dessin la hauteur de l'eau à 7 heures est de 1,7 m environ , on écrira f(7) = 1,7 (sans oublier que la valeur 1,7 déterminée à partir du dessin n'est sans doute pas exacte).

Définition

hauteur

0 2 4

1

2

24 heure 7

On appelle représentation graphique d'une fonction numérique f l'ensemble des points de coordonnées (x ; y) pour lesquels y est l'image de x par f, c'est-à-dire l'ensemble des points pour lesquels on a y = f(x) .

Cet ensemble de points s'appelle aussi courbe représentative de f ou courbe d'équation y = f(x).

Remarque

Une représentation graphique est un dessin, sa précision n'est donc pas parfaite.

L'utilisation d'une représentation graphique permettra de donner des valeurs dont on sait qu'elles ne sont sans doute pas exactes.

Exercice 1

Le graphique ci-contre représente une fonction f définie sur [−3 ; 3]. En utilisant ce graphique :

1. Déterminer l'image de −1,5.

2. Déterminer les réels x ayant pour image 1.

3. Quel est le maximum de la fonction f sur [−3 ; 3] ? En quelle valeur ce maximum est-il atteint ?

4. Quel est le minimum de la fonction f sur [−3 ; 3] ? En quelle valeur ce minimum est-il atteint ?

5. Indiquer le sens de variation de la fonction f et donner le tableau des variations de f sur [−3 ; 3].

Solution Exercice 1

1. Le point de la courbe ayant pour abscisse −1,5 a pour ordonnée 2,6. On a donc f(−1,5) = 2,6.

2. Il y a sur la courbe deux points d'ordonnée 1. Ces points ont pour abscisses respectives −2,1 et 0,5. Il y a donc deux réels ayant pour image 1 par f, ce sont les réels −2,1 et 0,5.

3. Le point de la courbe ayant la plus grande ordonnée est le point de coordonnées (−1 ; 3). La fonction f a donc pour maximum 3. Ce maximum est atteint pour x = −1.

4. Le point de la courbe ayant la plus petite ordonnée est le point de coordonnées (−3 ; −4,7). La fonction f a donc pour minimum −4,7. Ce minimum est atteint pour x = −3.

5. La courbe "monte" lorsque x varie de −3 à −1. La fonction f est donc croissante sur [−3 ; −1].

La courbe "descend" lorsque x varie de −1 à 2. La fonction f est donc décroissante sur [−1 ; 2].

La courbe "monte" lorsque x varie de 2 à 3. La fonction f est donc croissante sur [2 ; 3].

On peut donner le tableau de variations de f , en remarquant à partir de la courbe que :

f(−3) = −4,7 ; f(−1) = 3 ; f(2) = −1 ; f(3) = 0,7.

Bien entendu, les réponses étant données à partir d'un graphique qui n'est jamais parfait, les valeurs données sont en général des valeurs approchées.

0 1 2 3

1

2

3

2,6

3

-2,1 -1,5 0,5

1

-1

-3

-4,7

Exercice 2

Le graphique ci-contre représente une fonction f définie sur .

En utilisant ce graphique :

1. Résoudre l'équation f(x) = 0.

2. Résoudre l'équation f(x) = 3.

3. Résoudre l'équation f(x) = −4.

4. Résoudre l'équation f(x) = −x + 1.

Solution exercice 2

La fonction f est définie sur , la courbe qui est tracée est donc une représentation graphique partielle.

Les résultats sont donnés en supposant que f ne change pas de sens de variation en dehors des intervalles visibles sur le dessin. On suppose donc que f est décroissante sur ]  ; −2] et décroissante sur [2 ;  [. Les résultats étant obtenus à partir du graphique, toutes les valeurs sont approchées.

Rappel : les points se trouvant sur la courbe ont des coordonnées (x ; y) telles que y = f(x), c'est-à-dire que leur ordonnée y est l'image de leur abscisse x.

1. Résoudre l'équation f(x) = 0, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation y = 0 (intersection de la courbe et de l'axe Ox des abscisses).

On peut remarquer graphiquement que la courbe a trois points d'intersection avec l'axe Ox.

Ces points ont pour abscisses respectives −3,1 ; −0,7 et 3,8.

L'équation f(x) = 0 a donc trois solutions qui sont −3,1 ; −0,7 et 3,8.

2. Résoudre l'équation f(x) = 3, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation y = 3.

On trace donc la droite d'équation y = 3 (c'est une droite paral-lèle à Ox).

On peut remarquer graphiquement que la courbe a trois points d'intersection avec cette droite.

Ces points ont des abscisses respectives à peu près égales à −3,6 ; 0,3 et 3,3.

L'équation f(x) = 3 a donc trois solutions qui sont : −3,6 ; 0,3 et 3,3.

3. Résoudre l'équation f(x) = −4, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation y = −4. On trace donc la droite d'équation y = −4 (c'est une droite parallèle à Ox).

On peut remarquer graphiquement que la courbe a un point d'intersection avec la droite. Ce point a pour abscisse 4,2.

L'équation f(x) = −4 a donc pour solution 4,2.

4. Résoudre l'équation f(x) = −x + 1, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation y = −x + 1. On trace donc la droite d'équation y = −x + 1.

On peut remarquer graphiquement que la courbe a trois points d'intersection avec cette droite. Ces points ont pour abscisses respectives −3,9 ; −0,3 et 4,1.

L'équation f(x) = −x + 1 a donc trois solutions qui sont −3,9 ; −0,3 et 4,1.

x −3 −1 2 3

3 0,7

f(x)

−4,7 −1

0 1

1

y = −x +1

0 1

1

y = 3

y= −4

0 1

1

Exercice 3

Le graphique ci-contre représente une fonction f définie sur [−3 ; 3].En utilisant ce graphique :

1. Résoudre l'inéquation f(x)  0.

2. Résoudre l'inéquation f(x) > 1.

3. Résoudre l'inéquation f(x)  0,5x − 3.

 Si une fonction f est croissante sur un intervalle I, alors : pour tout a  I et tout b  I tels que ab, on a f(a)  f(b).

(Une fonction croissante conserve l'ordre)

 Si une fonction f est décroissante sur un intervalle I, alors pour tout a  I et tout b  I tels que ab, on a f(a)  f(b).

(Une fonction décroissante inverse l'ordre)

Exercice 4

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f ; en utilisant les renseignements donnés par ce tableau,

1. Donner la valeur de f(0).

2. Les points A(0 ; −1) et B(2 ; −3) sont-ils sur la courbe représentative de f ?

3. Décrire le sens de variation de f.

4. Tracer une courbe pouvant représenter la fonction f.

5. Comparer f(1,5) et f(1,8).

6. Comparer f(−0,5) et f(−0,8).

x −1 0 2 4

2 −2

f(x)

0 −3

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur [1974 ; 1998] dont on donne ci-dessous un tableau de valeurs :

x 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

f(x) 6,3 6,5 6,5 6,5 6,5 6,4 6,4 6,6 6,8 6,8 6,8 6,8 6,6

x 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

f(x) 6,5 6,4 6,4 6,5 6,8 7,1 7,4 7,3 7,3 7,3 7,3 7,2

1. Donner une représentation graphique de f.

2. Que peut-on dire du sens de variation de f sur [1985 ; 1988], sur [1989 ; 1993], sur [1994 ; 1997].

3. Quel est le maximum de f sur [1974 ; 1998] , pour quelle valeur ce maximum est-il atteint ?

4. Quel est le minimum de f sur [1974 ; 1998] , pour quelle valeur ce minimum est-il atteint ?

5. Les données du tableau ci-dessus représentent la dépense intérieure d'éducation rapportée au PIB, en pourcentage. (source : Ministère de l'Education). La courbe correspondante, publiée dans une revue était titrée : "Les dépenses d'éducation stagnent depuis 1993". Que pensez vous de ce titre ?

fonction décroissante

a b

f(b ) f(a)

a b

f(a)

f(b)

fonction croissante

Exercice 6

On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] et dont la représentation graphique est donnée ci-contre.

1. Décrire le sens de variation de f.

2. Donner le minimum et le maximum de f sur [−2 ; 2].

3. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 1.

On a effectué des agrandissements de la représentation graphique de f au voisinage du point de coordonnées (0 ; 0).

4. Après avoir observé ces agrandissements, que pouvez-vous dire des réponses données aux questions 1., 2. et 3. ?

5. La fonction f est définie par  

4 2

2

1 ( )

4 2 1000 0,1

x x f x

x   

 . Avec une calculatrice donner des

valeurs approchées de f(0,1) ; f(0,01) ; f(0,001) ; f(0,0001) ; f(0).

Exercice 7

La courbe ci-contre représente la fonction f : fréquentation en milliers de personnes par mois d'un site Web pour la période de janvier à décembre.

En utilisant cette courbe répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

2. Quelle différence peut-on faire entre la variation de f sur [0 ; 5] et la variation de f sur [7 ; 12] ?

3. Tracer sur le dessin la droite T4 d'équation y = x − 2.

Cette droite T4 qui "touche" la courbe au point A(4 ; 2) est appelée tangente à la courbe au point A d'abscisse 4.

Donner le coefficient directeur (la pente) de T4.

4. Tracer la tangente T9 à la courbe au point B(9 ; 9,5), c'est- à-dire la droite T9 qui "touche" la courbe au point B d'abscisse 9. Évaluer, à partir du dessin, le coefficient directeur de T9.

5. On considère la tangente Tx à la courbe en son point M d'abscisse x.

Comment varie le coefficient directeur de la tangente Tx lorsque x varie de 0 à 5, lorsque x varie de 7 à 12 ?

6. Pouvez-vous imaginer des conditions pratiques justifiant l'évolution du nombre de fréquentations de ce site web ?

Exercice 8

Le tableau ci-dessous donne, en milliards de francs, la dette publique de l'Etat (source : Ministères des Finances).

On note D(n) la dette publique de l'Etat, en milliards de francs, pour l'année n.

Année n 1990 1995 1996 1997 1998 1999

Dette D(n) 1704 3254 3542 3785 4021 4290

1

0

1

1

0,5 0,01 0

1

0

1 1

0

0

1

1

12

10

1. Quelles sont les valeurs de D(1990) et D(1995) ?

2. On appelle (C) la courbe représentative de la fonction D. Placer sur un dessin les points de la courbe correspondant au tableau des données. Tracer la courbe en supposant que l'on peut relier les points par des segments de droite. (On dit dans ce cas que la courbe est obtenue par interpolation linéaire)

3. Déterminer à partir de la courbe le montant de la dette publique de l'Etat en 1993.

4. Retrouver ce résultat par le calcul.

Remarque : Lorsqu'on détermine une valeur en assimilant une courbe à un segment de droite, on dit que l'on effectue une interpolation linéaire.

Exercice 9

On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction f définie sur [−1,5 ; 8].

1. Donner le tableau de variations de f sur [−1,5 ; 8].

On précisera dans ce tableau les images de −1,5 et de 8.

2. Résoudre graphiquement sur l'intervalle [−1,5 ; 8] :

a. f(x) = 10 ; b. f(x) = 54 ; c. f(x)  20.

3. Tracer sur le dessin la droite (D) d'équation y = 5x + 10.

a. Donner les coordonnées des points d'intersection de la courbe et de la droite (D).

b. En déduire graphiquement les solutions de l'équation

f(x) = 5x + 10.

Exercice 10

Un artisan fabrique des objets en bois qu'il propose ensuite aux touristes de passage au prix de 50 F.

Il estime que le coût de production de x objets est donné par : C(x) = x2 + 20x + 120 , x étant compris entre 1 et 30.

1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x 1 3 4 5 10 15 20 25 26 30

C(x)

2. Construire, à partir du tableau de valeurs du 1., la courbe représentative de C dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 1 cm pour 5 objets sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 100 F sur l'axe des ordonnées.

3. a. Montrer que la recette réalisée pour la vente de x objets est R(x) = 50x.

O 1

10

b. Tracer la représentation graphique de R sur le dessin précédent.

c. Déterminer graphiquement le nombre d'objets à vendre pour que la recette soit supérieure au coût.

4. Montrer que le bénéfice (ou la perte) réalisée après la fabrication et la vente de x objets est donné par

B(x) = −x2 + 30x − 120 où x est pris dans [1 ; 30].

5. On donne ci-contre la représentation graphique de B.

a. Retrouver sur ce graphique le nombre minimal d'objets à fabriquer pour que le bénéfice soit positif.

b. Déterminer à partir de ce graphique le nombre d'objets à fabriquer et à vendre pour faire un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ?

Exercice 11

Vous trouverez ci-dessous des cartes du Sénégal indiquant sous forme de courbes de niveau la pluviométrie annuelle en mm pour la période indiquée.

1. Comment pouvez-vous interpréter les différentes lignes de niveau et leur évolution dans le temps ?

2. Quel est le niveau de pluviométrie à St Louis entre 1970 et 1979 ?

3.Quel est le niveau de pluviométrie à Dakar pour les trois périodes considérées ?

Exercice 12

20 0

50 0

700

1000 0

40 0

40 0

50 0

700

1000

20 0

40 0 50 0 700

1000

St Louis

Dakar

Banjul

St Louis

Dakar

Banjul

St Louis

Dakar

Banjul

5

2 0

O

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome