Travaux pratiques de mathématique 1 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 1 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur les fonctions et les courbes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le graphique, L'inéquation, Les réponses.
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La figure ci-dessous représente la courbe ( C ) dans un repère non orthonormé de la fonction f définie sur [– 0,5 ; 4,5 ] par : f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.

1. Calculer f(−0,5). On admet que f(4,5) = 11,125.

2. Donner le tableau de variations de f.

3. A l’aide du graphique déterminer f(0)et f(3).

4. Résoudre graphiquement les équations suivantes :

a. f(x) = 0 b. f(x) = 4.

5. Soit x  [−0,5 ; 4,5], résoudre graphiquement l’inéquation f(x)  5.

6. Soit (D) la droite représentant la fonction g définie par g(x) = x + 1 sur .

a. Calculer g(0) et g(3).

b. Tracer (D) sur le graphique.

c. Résoudre graphiquement pour x [ –0,5 ; 4,5 ] :

l’équation x3 − 6x2 + 9x +1 = x +1 ;

l’inéquation x3 − 6x2 + 9x +1  x + 1.

Exercice 13

Dans une station balnéaire, trois sociétés de location de voiture proposent aux touristes les tarifs suivants :

Société S1 : Un forfait de 23 euros et 0,40 euros par km.

Société S2 : Un forfait de 66 euros avec les 70 premiers kilomètres gratuits et 0,30 euros par kilomètre parcouru au-delà des 70 km.

Société S 3 : 0,6 euros par km parcouru.

1. Déterminer, pour chaque société, le prix à payer pour 100 km parcourus.

2. La représentation graphique des prix f1(x), f2(x), f3 (x) respectivement des sociétés S1, S2, ,S3 en fonction du nombre x de kilomètres parcourus, est donnée sur le graphique page suivante.

a. Retrouver quelle courbe (pointillé, trait fin, trait plus épais) correspond à chaque société. Justifier votre choix.

b. Compléter le tableau de valeurs suivant (valeurs exactes) :

x 20 100 115 220

f1 (x) (société S1)

f2 (x) (société S2)

f3 (x) (société S3)

c. Avec l’aide du graphique et du tableau, déterminer la société proposant le tarif le moins élevé en fonction du nombre x de kilomètres.

3. Un client décide de dépenser 80 euros exactement pour la location de voiture. A l’aide du graphique, déterminer la société qu’il choisira pour faire le plus de kilomètres possibles et le nombre de kilomètres parcourus.

(justifier et annoter le graphique)

Solution exercice 3

Les résultats étant obtenus à partir du graphique, toutes les valeurs sont approchées.

1. Résoudre l'inéquation f(x) = 0, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points de la courbe ayant une ordonnée négative, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe se trouvant au-dessous de la droite d'équation y = 0 (axe Ox).

La partie de la courbe se situant au-dessous de l'axe Ox a été représentée en gras sur le dessin ci-contre.

Elle correspond à des valeurs de x appartenant à l'intervalle [−2,7 ; −0,9] ou à l'intervalle [0,9 ; 2,7].

L'inéquation f(x)  0 a pour ensemble de solution :

S = [−2,7 ; −0,9]  [0,9 ; 2,7].

Remarque : l'inéquation est une inéquation large (  ), les bornes des intervalles sont donc des solutions (elles correspondent à f(x) = 0). L'ensemble des solutions est donc donné avec des intervalles fermés

2. Résoudre l'inéquation f(x) > 1, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points de la courbe ayant une ordonnée strictement supérieure à 1, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe se trouvant strictement au-dessus de la droite d'équation y = 1.

La partie de la courbe se situant au-dessus de la droite d'équation y = 1 a été représentée en gras sur le dessin ci-contre.

Elle correspond à des valeurs de x appartenant à l'intervalle [−3 ; −2,8[ ou à l'intervalle ]−0,7 ; 0,7[ ou à l'intervalle ]2,8 ; 3].

L'inéquation f(x) > 1 a pour ensemble de solution :

S = [−3 ; −2,8[  ]−0,7 ; 0,7[  ]2,8 ; 3].

Remarque : l'inéquation est une inéquation stricte (>), les bornes −2,8 ; −0,7 ; 0,7 et 2,8 ne sont donc pas des solutions .

Les intervalles sont donc ouverts en ces bornes.

-2,7 0,9 -0,9 2,7

3. Résoudre l'inéquation f(x)  0,5x − 3, c'est déterminer les abscisses (valeurs de x) des points de la courbe ayant une ordonnée inférieure à 0,5x − 3, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe se trouvant au- dessous de la droite d'équation y = 0,5x − 3.

La partie de la courbe se situant au-dessous de la droite d'équation y = 0,5x − 3 a été représentée en gras sur le dessin ci-contre.

Elle correspond à des valeurs de x appartenant à [1,6 ; 2,4].

L'inéquation f(x)  0,5x − 3 a pour ensemble de solution [1,6 ; 2,4].

Solution exercice 4

1. D'après le tableau de variation, lorsque x = 0, on a f(x) = 2, donc f(0) = 2.

2. D'après la question précédente on a f(0) = 2 et par conséquent f(0)  −1.

Le point A(0 ; −1) n'est donc pas un point de la courbe représentative de f. D'après le tableau de variation, lorsque x = 2, on a f(x) = −3, donc f(2) = −3. Le point B(2 ; −3) est donc un point de la courbe de f.

3. D'après le tableau de variation, la fonction f est croissante sur [−1 ; 0], décroissante sur [0 ; 2], croissante sur [2 ; 4].

4. On peut dessiner une infinité de courbes pouvant représenter la fonction f. Exemples :

5. On a vu que la fonction f est décroissante sur [0 ; 2].

1,5 [0 ; 2] ; 1,8 [0 ; 2] et on a 1,5 1,8 on peut donc

en déduire que f(1,5) f(1,8). Une fonction décroissante inverse l'ordre.

6. On a vu que la fonction f est croissante sur [−1 ; 0]. −0,5 [−1 ; 0] ; −0,8

[−1 ; 0] et −0,8 −0,5.

0 1

1

0 1

1

0 1

1

On peut donc en déduire que f(−0,8) f(−0,5). Une fonction croissante conserve l'ordre.

Solution Exercice 5

1. Pour donner une représentation graphique de f, on place les points dont les coordonnées correspondent au tableau de valeurs et on les relie par des segments de droite (on dit dans ce cas que la courbe est obtenue par interpolation linéaire), ou par une courbe la plus "harmonieuse" possible.

2. Sur l'intervalle [1985 ; 1988] la fonction f est décroissante ; sur l'intervalle [1989 ; 1993] la fonction f est croissante et sur l'intervalle [1994 ; 1997] la fonction f est constante.

3. Le point de la courbe ayant l'ordonnée maximale est le point de coordonnées (1993 ; 7,4). La fonction f a donc pour maximum 7,4. Ce maximum est atteint en 1993.

4. Le point de la courbe ayant l'ordonnée minimale est le point de coordonnées (1974 ; 6,3). La fonction f a donc pour minimum 6,3. Ce minimum est atteint en 1974.

5. Le titre fait référence à l'alllure de la courbe à partir de 1993. Cette courbe étant presque horizontale, la fonction est presque constante, d'où l'idée de stagnation. Il est à noter que c'est le pourcentage des dépenses d'éducation par rapport au PIB qui stagne et non la dépense en elle-même.

Solution Exercice 6

Rappel : Les réponses sont données en utilisant la courbe, elles sont donc approchées et sujettes aux imprécisions du graphique.

1. La fonction f est décroissante sur [−2 ; −1], croissante sur [−1 ; 0], décroissante sur [0 ; 1] et croissante sur [1 ; 2].

2. Les points de la courbe ayant l'ordonnée la plus petite sont les points de coordonnées (−1 ; −0,25) et (1 ; −0,25).

La fonction f a donc pour minimum −0,25 et ce minimum est atteint en −1 et en 1.

Les points de la courbe ayant l'ordonnée la plus grande sont les points de coordonnées (−2 ; 2) et (2 ; 2).

La fonction f a donc pour maximum 2 et ce maximum est atteint en −2 et en 2.

3. Les solutions de l'équation f(x) = 1 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation y = 1. En traçant sur le dessin la droite d'équation y = 1, on observe deux points d'intersection avec la courbe. Ces points ont pour abscisses respectives −1,7 et 1,7.

1975 1980 1985 1990 1995

6. 0

7. 0

1

0

1

L'équation f(x) = 1 a donc deux solutions qui sont −1,7 et 1,7.

Solution Exercice 7

1. D'après le graphique, la fonction f est croissante sur [0 ; 12].

2. Sur l'intervalle [0 ; 5] ainsi que sur l'intervalle [7 ; 12], la fonction f est croissante, mais on peut remarquer sur le dessin que cette croissance s'accélère sur [0 ; 5] alors qu'elle ralentit sur [7 ; 12].

3. On peut tracer la droite T4 d'équation y = x − 2, en notant que pour x = 2, y = 0 et pour x = 4, y = 2. Le coefficient directeur de T4 est le coefficient a de l'équation y = ax + b, c'est-à-dire a = 1.

4. On trace la tangente T9, son coefficient directeur est à peu près égal à 0,5 c'est-à-dire que lorsque x varie de 1, y varie de 0,5 (et lorsque x varie de 2, y varie de 1).

5. En imaginant la tangente Tx au point M de la courbe d'abscisse x, on peut remarquer que le coefficient directeur de Tx va augmenter lorsque x varie de 0 à 5, c'est-à-dire que la tangente est de plus en plus verticale, alors que ce coefficient directeur va diminuer lorsque x varie de 7 à 12, c'est-à-dire que la tangente est de plus en plus horizontale. On peut remarquer que sur l'intervalle [0 ; 5], la concavité de la courbe est dirigée vers le haut, alors que sur l'intervalle [7 ; 12], la concavité est dirigée vers le bas.

6. Une publicité à direction du public intéressé par ce site web peut avoir augmenté la croissance du site. Lorsque la publicité a atteint le public concerné, la croissance a tendance à ralentir.

Solution exercice 8

1. D'après le tableau de valeurs, on a D(1990) = 1704 et D(1995) = 3254.

2.

T4

10

1

0 1 12

T9

3°) et 4°)

0 1

1

12

10

Tx

5°)

Tx

Tx

Tx

Tx

5 7

1500

1750

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1990 1993 1995 1999 1998 1997 1996

2250

2750

3. On peut lire sur la courbe que le point d'abscisse 1993 a une ordonnée à peu près égale à 2650. On en déduit que D(1993) = 2650. Le montant de la dette publique en 1993 est évalué graphiquement à 2650 milliards de francs.

4. On sait que D(1990) = 1704 et D(1995) = 3254. On peut donc calculer le coefficient directeur du segment de droite joignant les deux points d'abscisses respectives 1990 et 1995. Ce coefficient directeur

est : 3254 1704 1550

310 1995 1990 5

  

 .

Cela signifie que l'augmentation de la dette entre 1990 et 1995 est de 310 milliards de francs par an. On peut alors déterminer la dette en 1993 à partir de la dette en 1990 :

D(1993) = D(1990) + (1993 − 1990) x 310 , c'est-à-dire D(1993) = D(1990) + 3. 310 .

Donc D(1993) = 1704 + 930 = 2634. Le montant de la dette publique en 1993 est évalué par le calcul à 2634 milliards de francs.

On pourrait faire un calcul similaire à partir de la dette en 1995 :

D(1993) = D(1995) + (1993 - 1995) x 310 = D(1995) − 2 x 310 = 3254 − 620 = 2634.

Solution exercice 11

1. Sur les trois cartes, les différentes lignes de niveau montrent que la pluviométrie augmente assez régulièrement lorsque l'on va du nord au sud du Sénégal.

En comparant ces trois cartes, on peut constater que la pluviométrie a globalement et régulièrement diminué durant le demi-siècle dernier, conduisant à une désertification du nord du pays.

2. Le niveau de pluviométrie à St Louis entre 1970 et 1979 est compris entre 200 et 400 mm par an.

3. Le niveau de pluviométrie à Dakar :

pour la période 1940-1949, il est compris entre 400 et 500 mm par an.

pour la période 1970-1979, il est compris entre 200 et 400 mm par an.

pour la période 1940-1949, il est compris entre 200 et 400 mm par an.

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