Travaux pratiques de mathématique 17, Exercices de Mathématiques primaires
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Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 17, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur l'Amérique du Sud - exercices. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le choix de Jules, Le choix de Léo, dans la ville de Brest, dans l’ensemble des villes, Correction.
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Baccalauréat

Première L novembre 2006

Amérique du Sud (corrigé)

1. Exercice 1 (12 points)

Jules et Léo décident d’acheter le même ordinateur portable. Ils ne disposent pas de la somme nécessaire pour régler immédiatement leur achat. Le vendeur leur propose des facilités de paiement. En incluant les intérêts, chacun devra verser un acompte et rembourser un total de 2 000 euros (acompte compris) sur une durée de 12 mois selon des modalités à définir.

Jules choisit de verser 80 euros au moment de l’achat, puis il rembourse des mensualités fixes de 160 euros chacun des 12 mois suivants.

Léo verse 125 euros à l’achat, puis ses mensualités augmentent à chaque fois de 3% chacun des 11 mois suivants. Ainsi sa première mensualité augmentera de 3% par rapport aux 125 euros initialement versés. Le 12ème mois, il rembourse la différence entre les 2 000 euros dus et la somme totale qu’il a déjà remboursée.

Partie I : Le choix de Jules

On note u0 la somme versée par Jules à l’achat de l’ordinateur, et un la somme totale remboursée par Jules au bout de n mois. Ainsi, u0 = 80 et u1 représente le montant total que Jules a remboursé à la fin du premier mois.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier.

b. Exprimer un en fonction de n.

3. Pour calculer chaque mois la somme que Jules a remboursée, on utilise un tableur. La feuille de calcul est donnée en annexe 1.

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B5, de façon à pouvoir la recopier vers le bas jusqu’en B16 ?

Partie II : Le choix de Léo

On note v0 la somme versée par Léo à l’achat de l’ordinateur, et vn le montant de la mensualité de Léo le n-ième mois avec n entier compris entre 1 et 11. Ainsi, v0 = 125 et d’après les conditions du contrat, v1 = 129 arrondi à l’euro le plus proche.

1. Calculer v2. On arrondira le résultat à l’euro le plus proche.

2. Quelle est la nature de la suite (vn) ? Justifier.

3. Pour calculer les mensualités de Léo, on utilise aussi la feuille de calcul donnée en annexe 1.

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule E5, de façon à pouvoir la recopier vers le bas jusqu’en E15 ?

Les réponses déjà fournies ont été arrondies à l’unité.

4. a. Quelle somme totale Léo a-t-il remboursée à la fin du 11ème mois ? Quel est le montant de la 12ème mensualité ?

b. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule E16 afin de calculer directement cette 12ème mensualité ?

5. À partir de quel mois les mensualités de Léo sont-elles plus élevées que celles de Jules ?

2. Exercice 2 (8 points)

On se propose dans cet exercice de comparer les régimes pluviométriques de différentes villes de Bretagne et de Provence : sur une période de 38 ans, on a mesuré, en millimètres d’eau par m2, les quantités de pluie tombées chaque année sur chacune de ces villes (pour simplifier le langage, on donnera le nom de pluviométrie à ces quantités).

Partie I : dans la ville de Brest

On donne ci-dessous, les valeurs de pluviométrie de Brest (en millimètres par m2), classées dans l’ordre croissant :

782,0 840 860,4 872,5 886,4 913,9 971,2 983,6 994,5 1029,7

1029,7 1031,8 1039,9 1045,7 1053,4 1061,1 1062,7 1097,8 1099,8 1101,0

1137,4 1140,2 1174,1 1180,9 1208,7 1209,6 1222,1 1224,1 1233,3 1238,9

1269,1 l269,4 1281,8 1297,2 1313,4 1383,3 I462,7 1603,6

1. Calculer la moyenne de la pluviométrie à Brest pour les 6 années où la pluviométrie a été la plus faible.

2. Calculer, en détaillant, le premier quartile, la médiane et le troisième quartile de la série des 38 valeurs, puis compléter le tableau de l’annexe 2 à rendre avec la copie.

3. Construire la boîte à moustaches correspondant à la pluviométrie de Brest sur le diagramme figurant en annexe 3 à rendre avec la copie (comme pour les autres diagrammes, les extrémités des « pattes » seront constituées des premier et neuvième déciles, donnés dans le tableau de l’annexe 2).

Partie II : dans l’ensemble des villes

À l’aide des renseignements figurant dans les annexes 2 et 3, répondre aux questions suivantes :

1. Pour quelle ville, l’écart interquartile est-il le plus faible ? Combien cet écart vaut-il ?

2. Citer les villes dans lesquelles, pour au moins 50% des années, il est tombé plus de 900 mm d’eau par m2.

3. Interpréter concrètement, en faisant une phrase, le fait que, pour la pluviométrie de Marseille, le premier quartile est égal à 447.

4. a. En observant les diagrammes de l’annexe 3, trouver la région dans laquelle se trouvent les deux villes ayant la pluviométrie la plus irrégulière. La réponse sera argumentée.

b. Quelles autres données, figurant dans l’annexe 2, permettent la même conclusion ?

Annexe 1

Feuille de calcul pour le calcul de la somme totale versée par Jules et pour le calcul des mensualités de Léo

A B C D E F

1 Montant des mensualités de Jules

160 Taux d’augmentation des mensualités de Léo

3 %

2

3 Somme totale remboursée par

Jules

Montant des mensualités de Léo

4 Somme initiale versée 80 125

5 1er mois

6 2ème mois

7 3 ème mois 560 137

8 4 ème mois 720 141

9 5 ème mois 880 145

10 6 ème mois 1040 149

11 7 ème mois 1200 154

12 8 ème mois 1360 158

13 9 ème mois 1520 163

14 10 ème mois 1680 168

15 11 ème mois 1840 173

16 12 ème mois 2000

17 Somme totale remboursée

2000 2000

À rendre avec la copie Annexe 2

Indicateurs statistiques de la pluviométrie (en mm par m2) enregistrée au cours de ces 38 années dans différentes villes.

Villes de Bretagne Villes de Provence Brest Dinard Lorient Nantes Marseille Montélimar Nice Toulon

Minimum 499,7 638,1 567 221,7 512,1 412,4 331,2 D1 872,5 597,8 698,1 632,8 369,8 675,8 538 499,2 Q1 649,6 808 696 447 753,8 617,2 564,6

Médiane 705,35 919,2 765,55 549,65 959,45 801,3 642,9 Q3 806,8 1016 878,6 636,6 1077,5 938,6 754,2 D9 1313,4 886,5 1119,4 982,8 705,8 1145,2 1089,3 922,4

Maximum 1021,2 1307,5 1076,1 901,5 1389,2 1203,9 886,3

Moyenne 1121,2 725,6 919,8 791,3 543,7 927,6 798,9 673,6 écart- type 174,3 119,8 150,8 127,8 142,3 204,9 208,7 163,7

Annexe 3

Pluviométrie (mm par m2)

Correction

Exercice 1

Partie I : Le choix de Jules

1. u1 = 80 + 160=240 ; u2.= u1 + 160 = 400.

2. a. La suite (un) est arithmétique : d’un mois sur l’autre on rajoute 160 euros ; c’est la raison de la suite.

b. 0 80 160 80 160nu u nr n n       .

3. On peut rentre simplement « =B4+160 » ou mieux « =B4+$B$1 » ce qui permet de changer la valeur 160.

Partie II : Le choix de Léo

1. On rajoute 3 %, donc on multiplie par 3

1 1,03 100   : 2 1 1,03 129v v   .

2. (vn) est géométrique de raison 1,03 pusiqu’on multiplie par 1,03 d’un mois sur l’autre.

3. On met « =E4*1,03 ».

4. a. On fait la somme des cellules E4 à E15, soit 1774 euros.

Il lui reste donc à payer 2000−1774=226 euros.

b. « =E17−SOMME(E4:E15) »

5. À partir du 9ème mois les mensualités de Léo sont supérieures à 160 et donc plus élevées que celles de Jules.

Annexe 1

Feuille de calcul pour le calcul de la somme totale versée par Jules et pour le calcul des mensualités de Léo

A B C D E F

1 Montant des mensualités de Jules

160 Taux d’augmentation des mensualités de Léo

3 %

2

3 Somme totale remboursée par

Jules

Montant des mensualités de Léo

4 Somme initiale versée 80 125

5 1er mois 240 129

6 2ème mois 400 133

7 3 ème mois 560 137

8 4 ème mois 720 141

9 5 ème mois 880 145

10 6 ème mois 1040 149

11 7 ème mois 1200 154

12 8 ème mois 1360 158

13 9 ème mois 1520 163

14 10 ème mois 1680 168

15 11 ème mois 1840 173

16 12 ème mois 2000 226

17 Somme totale remboursée

2000 2000

Exercice 2

Partie I : dans la ville de Brest

Pluviométrie de Brest (en millimètres par m2), classées dans l’ordre croissant :

782,0 840 860,4 872,5 886,4 913,9 971,2 983,6 994,5 1029,7

1029,7 1031,8 1039,9 1045,7 1053,4 1061,1 1062,7 1097,8 1099,8 1101,0

1137,4 1140,2 1174,1 1180,9 1208,7 1209,6 1222,1 1224,1 1233,3 1238,9

1269,1 l269,4 1281,8 1297,2 1313,4 1383,3 I462,7 1603,6

1. On fait la moyenne des six premiers termes du tableau : 859,2.

2. Q1 : 38/4=9,5 : on prend la moyenne du 9ème et du 10ème terme : 1012,1.

Médiane : 38/2=19 ; on prend le 19ème terme, soit 1099,8.

Q3 : 38*3/4=28,5 : on prend la moyenne du 28ème et du 29ème terme : 1228,7.

Villes de Bretagne Villes de Provence Brest Dinard Lorient Nantes Marseille Montélimar Nice Toulon

Minimum 840 499,7 638,1 567 221,7 512,1 412,4 331,2

D1 872,5 597,8 698,1 632,8 369,8 675,8 538 499,2

Q1 1012,1 649,6 808 696 447 753,8 617,2 564,6

Médiane 1099,8 705,35 919,2 765,55 549,65 959,45 801,3 642,9

Q3 1228,7 806,8 1016 878,6 636,6 1077,5 938,6 754,2

D9 1313,4 886,5 1119,4 982,8 705,8 1145,2 1089,3 922,4

Maximum 1603,6 1021,2 1307,5 1076,1 901,5 1389,2 1203,9 886,3

Moyenne 1121,2 725,6 919,8 791,3 543,7 927,6 798,9 673,6

écart- type 174,3 119,8 150,8 127,8 142,3 204,9 208,7 163,7 3.

Partie II : dans l’ensemble des villes

1. L’écart interquartile est le plus faible pour Dinard où il vaut 157,2.

2. Il faut que la médiane soit supérieure à 900 : cela concerne Brest, Lorient, Montélimar.

3. A Marseille le premier quartile est égal à 447, donc pendant 25 % des années il est tombé moins de 447 mm d’eau au m2.

4. a. On a une pluviométrie irrégulière si l’intervalle interquartile est grand : les deux plus grand sont pour Nice et Montélimar.

b. L’écart-type donne le même type d’indication : c’est le plus grand dans ces deux mêmes villes.

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