Travaux pratiques de mathématique 2 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 2 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur les fonctions numériques, exercices - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coûts de production et les recettes, le trajet aller-retour, les modèles standar...
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Première L

Fonctions numériques, exercices

1. Amérique du Sud, novembre 2002, 9 points 1 2. Amérique du Nord, juin 2004, 8 points 2 3. Antilles, juin 2004, 8 points 3 4. Pondichéry, avril 2002, 8 points 4 5. Pondichéry, avril 2004, 11 points (c) 5 6. Antilles, septembre 2004, 8 points 10 7. Antilles, juin 2005, 12 points 12 8. La Réunion, juin 2005, 10 points 14

1. Amérique du Sud, novembre 2002, 9 points

Le graphique donné ci-dessus représente les coûts de production et les recettes, en milliers d’euros, d’une entreprise, en fonction de la quantité de produit vendu, exprimée en tonnes. Les coûts de production sont représentés par la courbe et les recettes par la droite.

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Les recettes et les coûts seront exprimés en milliers d’euros.

1. L’entreprise vend 2 tonnes de marchandises. Quels sont ses recettes et ses coûts de production ? L’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ou une perte ? De combien ?

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

quantités vendues en tonnes

coûts de

production et

recettes en milliers

d'euros Coûts de production

Recette s

2. L’entreprise fait une recette de 200 milliers d’euros. Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quels sont ses coûts de production ? Est-ce rentable ?

3. L’entreprise a des coûts de production de 160 milliers d’euros. Quelle quantité de marchandise a-t-elle vendue ? Quelles sont ses recettes ? Est-ce rentable ?

4. a. L’entreprise vend 10 tonnes de marchandises. Quel est son bénéfice ?

b. Quelles sont les quantités vendues qui permettent à l’entreprise de réaliser un bénéfice ?

c. Quelle quantité, approchée à 0,5 près, doit être vendue pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximum ? Quel est alors ce bénéfice ?

5. En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variation, sur l’intervalle [3 ; 12], de la fonction exprimant le bénéfice en fonction de la quantité de produit vendu.

2. Amérique du Nord, juin 2004, 8 points

La carte présente le trajet aller-retour que projette d’effectuer un groupe d’alpinistes. Le but de la randonnée est de gravir le sommet S. Le premier jour, ils se donnent rendez-vous au point D, départ d’un téléphérique qui les conduit au point A. Ils décident ensuite de gagner à pied le refuge R où ils passeront la nuit. Ils prévoient pour le lendemain de faire l’ascension de R à S, puis le retour direct à pied de S à D.

On rapporte l’espace à un repère orthonormal d’origine O, dont l’axe Ouest-Est est celui des abscisses, l’axe Sud-Nord celui des ordonnées, l’axe des cotes (ou altitudes) n’étant pas représenté. Les carrés du quadrillage ont, sur le terrain, 500 mètres de côté. Des lignes de niveau, dont l’altitude est indiquée en mètres, permettent d’imaginer le relief. Par exemple, le point S a pour coordonnées (7 000 ; 3 000 ; 3 800).

1. a. Quelles sont les coordonnées des points D et A ?

b. Calculer la différence d’altitude (appelée dénivelée) entre D et A.

c. Le téléphérique met 10 minutes pour aller de D à A. Calculer sa dénivelée moyenne par heure (en mètres par heure).

2. On désire calculer la longueur du câble du téléphérique (supposé tendu). Pour cela, on pourra s’aider du parallélépipède rectangle représenté, le point A’étant situé à la verticale du point A, à la même altitude que D.

Utiliser deux fois de suite le théorème de Pythagore pour démontrer que la longueur DA est, au mètre près, égale à 2 693 mètres.

3. Les alpinistes quittent le téléphérique en A et se dirigent vers le refuge R. Donner les coordonnées du point B le plus bas du trajet de A à R.

4. Le lendemain, pour des raisons de sécurité, les alpinistes doivent quitter le refuge très tôt de façon à arriver au sommet S au plus tard à 10 heures. Ils prévoient d’accéder à S en s’ élevant, en moyenne, d’une altitude de 200 mètres par heure. A quelle heure doivent-ils quitter le refuge R ?

5. Ayant atteint comme prévu le sommer à 10 heures, ils s’apprêtent à redescendre en perdant en moyenne 300 mètres d’altitude par heure. A quelle heure seront-ils au point D ? (Donner la réponse en heures et minutes).

3. Antilles, juin 2004, 8 points

Un magasin vend deux types de téléphones mobiles : des modèles standard notés S et des modèles miniatures notés M.

Ce magasin propose deux types de forfait mensuel : un forfait d’une heure noté A et un forfait de deux heures noté B.

Le service commercial effectue une enquête sur un échantillon de 2000 clients ayant acheté dans ce magasin un téléphone et un seul et ayant opté pour un seul des forfaits proposés.

Sur les 2000 clients interrogés, 1200 ont acheté le modèle S et 960 ont choisi le forfait A.

Parmi les les clients ayant acheté le modèle S, 32 % ont pris le forfait A.

Partie A - Étude de l’enquête

1. Le tableau de l’annexe 1, à rendre avec la copie, fait apparaître le nombre de clients interrogés selon le modèle de téléphone et le type de forfait choisis. Compléter le tableau.

2. a. Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi le forfait A ?

b. Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi lemodèle M ?

c. Quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont choisi le modèle M et le forfait A ?

d. Parmi les clients interrogés ayant choisi le modèle M, quel est le pourcentage de clients interrogés qui ont opté pour le forfait A ?

Partie B - Comparaison des deux forfaits

Le forfait mensuel A coûte 27 € et le forfait mensuel B coûte 45 €. L’opérateur facture 0,50 € chaque minute au delà du forfait.

On s’intéresse à la consommation d’un client ayant souscrit un forfait A au cours du mois suivant l’achat du téléphone et on appelle t le nombre de minutes consommées au-delà du forfait.

1. Quel serait le montant de la facture payée par ce client s’il avait téléphoné 15 minutes au-delà du forfait A pendant ce mois ?

2. Exprimer en fonction de t le prix à payer par ce client ayant dépassé son forfait de t minutes.

3. Soit p la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 50] par p(t) = 27+0,5t. Représenter la fonction p dans le repère fourni en annexe.

4. Déterminer graphiquement à partir de combien de minutes de consommation au-delà du forfait A ce client aurait intérêt à souscrire un forfait B.

Annexe 1 à rendre avec la copie

Tableau

Modèle S Modèle M Total

Forfait A 960

Forfait B

Total 1200 2000

Représentation graphique de la fonction p

0

10

2 0

3 0

4 0

50

6 0

0 10 2 0 3 0 4 0 50

dépassem ent en m inut es

p ri

x e

n e

u ro

s

4. Pondichéry, avril 2002, 8 points

Questionnaire à choix multiples : Dans chaque exercice, plusieurs réponses sont proposées. Parmi ces réponses, une seule est juste : entourer, sur la feuille annexe, la bonne réponse. Pour chaque question, la bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse coûte 0,5 points. L’absence de réponse est notée 0. La note minimale pour l’exercice entier est 0.

1. Le prix d’un article est passé en un mois de 28 euros à 29,54 euros. Le pourcentage d’augmentation de cet article est, à 10−1 près :

5,2 % 5,5 % 1,54 % 1,055 %

2. Une production de 40 000 unités augmente de 4,5 % chaque année (par rapport à l’année précédente). On veut établir la production au cours des années suivantes à l’aide d’un tableur :

A B C D E

1 Année 2000 2001 2002

2 Production 40 000

La formule de calcul qu’il faut écrire dans la cellule C2 est :

=B2+4,5% =B2*1,045 =B2*0,045 =1,45*B2

3. On lance deux dés cubiques, un rouge et un bleu, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on considère la somme des deux résultats obtenue. Le nombre de façons d’obtenir une somme égale à 8 est :

2 4 5 6

4. Entre le 1er novembre 1999 et le 1er novembre 2000 le nombre de chômeurs en France est passé de 2 628 600 à 2 175 500. Si l’on utilise une interpolation linéaire, le nombre de chômeurs que l’on peut estimer au 1er août 2000 est :

2 572 300 2 277 885 2 402 050 2 288 775

5. Une entreprise fabrique sur commande des moteurs électriques.

La courbe (C) ci-dessous représente le coût de fabrication, en euros, des moteurs en fonction du nombre x de moteurs fabriqués. la droite (D) représente la recette, en euros, issue de la vente de ces moteurs. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût.

a. Le bénéfice est strictement positif lorsque :

x = 10    0 ;10 80 ;100x  10 80x  x = 90

b. Le bénéfice est maximal lorsque

x = 100 x = 80 x = 45 x = 25

5. Pondichéry, avril 2004, 11 points (c)

La distance d’arrêt d’une voiture est égale à la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur augmentée de la distance de freinage.

Dans cette étude, on suppose que pour une voiture donnée et son conducteur :

- la distance parcourue pendant le temps de réaction est fonction de la vitesse et dépend de deux états possibles du conducteur : conducteur en forme ou conducteur fatigué ;

- la distance de freinage de la voiture est fonction de la vitesse et dépend de deux états possibles de la route : route sèche ou route mouillée.

Les résultats demandés seront obtenus par lecture graphique, avec la précision permise par les graphiques donnés.

Partie A : étude de la distance parcourue pendant le temps de réaction en fonction de la vitesse (Annexe 2)

1. La distance parcourue pendant le temps de réaction est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier la réponse.

2. Le conducteur en forme roule à 50 km/h.

a. Quelle distance parcourt-il pendant son temps de réaction ?

b. Par combien, environ, est multipliée cette distance lorsque ce conducteur roule à 100 km/h ?

3. Le conducteur fatigué parcourt 50 mètres pendant son temps de réaction. À quelle vitesse roule t-il ?

Partie B : étude de la distance de freinage en fonction de la vitesse (Annexe 3)

1. La distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier la réponse.

2. Le conducteur roule à 50 km/h sur une route sèche.

a. Quelle est sa distance de freinage ?

b. Par combien, environ, est multipliée cette distance lorsque le conducteur roule à 100 km/h ?

3. Le conducteur roule à 130 km/h. Par combien, environ, est multipliée la distance de freinage entre un arrêt sur route sèche et un arrêt sur route mouillée ?

Partie C : étude de la distance d’arrêt en fonction de la vitesse (Annexe 4)

On rappelle que : la distance d’arrêt d’une voiture est égale à la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur augmentée de la distance de freinage.

1. Le conducteur en forme roule à 50 km/h sur une route sèche.

a. En utilisant les résultats obtenus dans les parties A et B, donner sa distance d’arrêt.

b. Comment utiliser le graphique donné en annexe 4, pour retrouver cette distance d’arrêt ?

2. Le conducteur souhaite pouvoir s’arrêter, quel que soit son état et celui de la route, en moins de 100 mètres. À quelle vitesse maximum doit-il rouler ?

ANNEXE 2

Étude de la distance parcourue pendant le temps de réaction en fonction de la vitesse selon l’état du conducteur

ANNEXE 3 (exercice 2)

Étude de la distance de freinage en fonction de la vitesse selon l’état de la route

ANNEXE 4 (exercice 2)

Étude de la distance d’arrêt en fonction de la vitesse

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