Travaux pratiques de mathématique 2 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 2 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur les fonctions numériques, exercices - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Correction

Partie A : étude de la distance parcourue pendant le temps de réaction en fonction de la vitesse (Annexe 2)

1. Le graphique 1 donne pour les deux cas des droites : les distances parcourues et les vitesses sont proportionnelles (c’est la relation

d vt ).

2. a. Avec 50v  on lit environ 15 m sur le graphique.

b. A 100 km/h la distance est de 60 m, donc multipliée environ par 4.

3. Le conducteur fatigué parcourt 50 mètres, il roulait à 90 km/h (flèches pointillées).

Partie B : étude de la distance de freinage en fonction de la vitesse (Annexe 3)

1. Si la distance de freinage était proportionnelle à la vitesse la représentation graphique serait une

droite, ce qui est loin d’être le cas. On peut même imaginer une relation du type 2d kv où k est une constante.

2. a. Distance de freinage à 50 km/h sur route sèche, environ 12 m.

b. A 100 km/h la distance passe à environ 48 m, soit multipliée par 4.

3. 125 m à 130 km/h sur route sèche, 175 m à 130 km/h sur route mouillée, quotient : 175

1, 4 125  , ce qui

correspond à 40 % d’augmentation.

Partie C : étude de la distance d’arrêt en fonction de la vitesse (Annexe 4)

1. a. 50 km/h, route sèche : distance due au temps de réaction = 15 m, distance de freinage = 12 m, au total 27 m.

b. On mesure la longueur de la flèche double indiquée sur le graphique (vers le bas + vers le haut).

2. Il faut que la longueur de la flèche pointillée ne dépasse pas 100, ce qui correspond à environ 80 km/h.

6. Antilles, septembre 2004, 8 points

Étude d’une loi du marché

Dans cet exercice on désire étudier une loi de marché relative à une revue intitulée «MOTS » en fonction du prix de l’abonnement annuel.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 200] par

f (p)=−50p +12500.

On admet que cette fonction donne le nombre d’abonnés en fonction du prix p en euros, de l’abonnement annuel à cette revue « MOTS ».

Partie A - Nombre d’abonnés

1. Lorsque l’abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d’abonnés ?

2. Quelle est l’image de 52 par f ? Que représente cette image ?

3. Justifier que toute augmentation de 2 € du prix de l’abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d’abonnés à cette revue « MOTS ».

4. Le nombre d’abonnés à la revue « MOTS « est de 5 000, quel est alors le prix de l’abonnement annuel ?

5. En utilisant la fonction f , justifier que pour ce produit « plus un produit est cher, plus la demande diminue ».

Partie B - Étude de la recette

On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue « MOTS » perçu par l’éditeur de la revue.

1. Le prix de l’abonnement est égal à 50 €. Calculer la recette correspondante.

2. Le prix de l’abonnement est fixé à 40 €. Calculer la recette correspondante.

3. Le nombre d’abonnés est égal à 5 000. Calculer la recette.

4. Le prix de l’abonnement est égal à p euros. Exprimer la recette en fonction de p et f (p).

5. On définit la fonction R sur l’intervalle [0 ; 200] par

R(p)=−50p2 +12500p.

Vérifier que R(p) est égal à la recette correspondant à un prix de l’abonnement égal à p euros.

6. Le graphique de la fonction R est donné ci-dessous. En utilisant ce graphique et en laissant apparaître tous les tracés nécessaires, répondre aux questions suivantes :

a. Quel est le prix de l’abonnement annuel à cette revue « MOTS » qui rend la recette maximale ? Quel est alors le montant de la recette ?

b. Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation ( ) 500 000R p  .

7. Calculer le nombre d’abonnés qui correspond à la recette maximale.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

0 50 100 150 200 250

p

R

Prix de l’abonnement en euros

7. Antilles, juin 2005, 12 points

Un artisan vend des pots de miel et des pots de confiture artisanale à des supermarchés et à des magasins spécialisés en produits du terroir.

Partie A

Au cours du mois de janvier l’artisan a vendu 900 pots. On sait que :

* 2

3 sont des pots de miel dont 55% sont vendus à des magasins spécialisés.

* 20 % des pots de confiture sont vendus aux supermarchés.

Compléter le tableau 2, à rendre avec la copie.

Partie B

1. Fabrication et conditionnement de la confiture.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 160] par 2( ) 0,25 500f x x  .

La fabrication complète de la confiture et son conditionnement en cartons représentent un coût pour l’artisan. Pour x cartons, prêts à la vente, ce coût (en euros) est donné par f(x).

a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 du tableau 3 (obtenu à l’aide d’un tableur) pour obtenir par recopie automatique vers le bas les nombres f(x) ? Compléter la colonne B.

b. La représentation graphique, notée F, de la fonction f est l’une des deux courbes du graphique de l’annexe 2. Identifier la courbe F sur le graphique.

2. Vente de la confiture.

Un carton de confiture est vendu 30 euros. On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de vente g(x), en euro, de ces x cartons (pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 160]).

a. Exprimer g(x) en fonction de x.

b. Tracer sur le graphique de l’annexe 2 la courbe représentative G de la fonction g .

c. Par lecture graphique indiquer pour quelles valeurs de x on a ( ) ( )g x f x .

3. Étude du bénéfice.

On considère la fonction bénéfice b définie sur l’intervalle [0 ; 160] par b(x) = 30x − f (x).

a. Quelle formule peut on saisir dans la cellule C2 du tableau 3 pour obtenir par recopie automatique vers le bas les nombres b(x) ? Compléter alors la colonne C.

b. Sur le graphique de l’annexe 2, identifier la courbe représentative de la fonction b et noter cette courbe B.

En s’aidant du graphique et du tableau 3, donner le tableau de variation de la fonction b.

c. Déduire de la question précédente le nombre de cartons à vendre pour que le bénéfice réalisé soit maximum. Quel est ce bénéfice maximum ?

Tableau 2

Pots de Miel Pots de confiture artisanale

Total

Magasins spécialisés

Total 600 900

Tableau 3

A B C

1 x f(x) b(x)

2 0

3 20

4 40

5 60

6 80

7 100

8 120

9 140

10 160 6900 −2100

Graphique

- 1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 20 40 60 80 100 120 140 160

x

y

8. La Réunion, juin 2005, 10 points

Une course de montagne

Les trois parties sont indépendantes. L’annexe est à rendre avec la copie.

Partie A : Étude topographique

Le tracé du parcours d’une course pédestre de montagne est donné en annexe.

Les concurrents franchissent une première colline en passant par son sommet S1. L’arrivée a lieu au sommet de la deuxième colline S2. Le point P désigne l’emplacement d’un poste de secours.

1. Quelle est l’altitude du point de départ ? Du poste de secours ?

2. Un coureur se tord la cheville. il donne sa position à l’aide d’un téléphone portable de la façon suivante :

« Je suis dans la descente de la première colline et mon altimètre indique une altitude de 1274 m ».

Indiquez en couleur sur la carte la zone minimale de recherche de ce coureur par les secouristes.

3. La carte est à l’échelle 1/50 000. Calculez la longueur approximative du parcours entre le point de départ et le sommet S1 (vous négligerez la différence d’altitude entre le point de départ et le sommet S1).

Partie B : Profil de course

Le graphique ci-dessus donne le profil de course de trois coureurs, Julien, Marc et Audrey.

1. Parmi ces trois coureurs, lequel arrive le premier ?

2. Que se passe-t-il à la vingtièmeminute de course?

3. Au pointage du 5,5 km, quelle est l’avance en temps de Marc sur Julien ?

4. A la quinzième minute de course, quelle distance sépare Julien et Marc ?

Partie C : Évolution du nombre de participants

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne le nombre de participants en fonction de l’année et l’évolution de ce nombre par rapport â l’année 2000.

La colonne C est au format pourcentage. Les pourcentages sont arrondis à 1 %.

A B C

1 Année Nombre de

candidats

Pourcentage d’évolution du nombre de participants par rapport à 2000

2 2000 142 0 %

3 2001 162 14 %

4 2002 182 28 %

5 2003 202

6 2004 222

1. De quel type de croissance du nombre de participants s’agit-il sur la période 2000–2004 ? Justifiez votre réponse.

2. a. Quel est le pourcentage d’évolution du nombre de participants de 2000 à 2003. Vous arrondirez à 1 %.

b. Quelle formule â copier vers le bas, utilisant uniquement des références de cellules a-t-on écrite dans la cellule C3 ?

L’organisateur de la course juge que l’augmentation du nombre de participants est insuffisante. C’est pourquoi il lance une campagne publicitaire et espère une croissance annuelle de la participation de 15% par an. Les effets de cette campagne devraient être ressentis dès 2005.

3. a. Calculez le nombre espéré de participants en 2005.

b. De quel type de croissance espérée s’agit-il à partir de 2005 ? Justifiez votre réponse.

c. Calculez le nombre espéré de participants en 2010.

Annexe : à rendre avec la copie

Carte topographique du lieu où se déroule la course pédestre. Le parcours est tracé en gras.

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