Travaux pratiques de mathématique 6 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 6 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires

PDF (347.5 KB)
7 pages
117Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de mathématique sur les statistiques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Une machine de Galton, Diagramme en boîte, Exemple.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Personnes infectées 19 110 174 165 156 30 29 13 12 9 23 79

Personnes non infectées 264 491 418 348 250 83 72 40 29 19 51 139

1. Calculez le nombre total de personnes infectées par le VIH et le nombre total de personnes non infectées. Que pensez-vous de la population étudiée ?

2. Faire, pour les personnes infectées par le VIH, un diagramme à barres correspondant à leur nombre de partenaires.

3. Expliquez pourquoi on ne peut pas conclure de ce graphique que les personnes ayant de nombreux partenaires sont moins infectés par le VIH que les personnes ayant un seul partenaire. Proposez une méthode permettant de répondre à cette interrogation.

Exercice 4 : Une machine de Galton

Sur le dessin ci-contre est schématisée une machine de Galton : le réservoir supérieur contient des billes qui en tombant, vont heurter un certain nombre de clous disposés de façon triangulaire.

On suppose que, sur l'ensemble des boules arrivant sur un clou, la moitié se dirige vers la gauche et la moitié se dirige vers la droite.

Ces boules arrivent finalement dans une des cases qui sont numérotées de 0 à 9.

1. On lance 512 boules. En schématisant la machine de Galton par un arbre, dénombrer le nombre de boules arrivant dans chacune des cases et vérifier le tableau ci- dessous.

Numéro de la case 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre de boules

(Effectif) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

2. Tracer un diagramme en arbre pour représenter ces données. Ces données semblent-elles être des données gaussiennes ?

3. Calculer la moyenne  et l'écart-type  de la série obtenue. Quel est la proportion de données se

trouvant dans la plage de normalité ?

4. Quelle est la proportion des données se trouvant dans l'intervalle  3 ; 3     ?

4. Diagramme en boîte

Ce type de diagramme est aussi appelé diagramme de Tuckey, boîte à moustaches ou boîte à pattes.

Il utilise le 1er et le 3ème quartile, les valeurs extrêmes, le 1er et le 9ème décile et éventuellement la médiane d'une série.

La construction ci-dessous est faite pour la série de l'exercice 5 (tailles en cm pour des enfants de 68 mois).

Cette série était caractérisée par :

médiane : 113

1er quartile : 110 3ème quartile : 117

1er décile : 108 9ème décile : 119

On choisit une graduation verticale permettant de représenter les différentes valeurs de la série.

On pourra par exemple graduer entre 90 et 130 (si certaines valeurs sont manifestement hors normes, on n'en tiendra pas compte).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Le "corps" du diagramme, c'est-à-dire la "boîte" est formée d'un rectangle ayant pour extrémité inférieure le 1er quartile et pour extrémité supérieure le 3ème quartile. A l'intérieur de ce rectangle on pourra tracer un segment représentant la médiane. La largeur du rectangle n'est pas fixée, elle sera choisie de façon à obtenir un graphique "harmonieux".

Ce rectangle représente les données contenues dans l'intervalle interquartile.

On repère ensuite les hauteurs correspondant au 1er et au 9ème décile, et on trace deux pattes représentant les données contenues dans l'intervalle interdécile (la largeur des pattes n'a pas d'importance).

On peut ensuite terminer le graphique, en faisant figurer par des points les données qui sont en dehors

de l'intervalle interdécile.

Si certaines données, sont manifestement très éloignées, on ne les représentera pas, mais on écrira leurs valeurs au dessous du diagramme.

Remarques : une boîte avec des "pattes" courtes indique que la série est assez concentrée autour de sa médiane. Au contraire des "pattes" longues indique que la série est assez dispersée. Un des avantages de cette représentation, est qu'elle nécessite très peu de calculs.

* La représentation peut aussi se faire horizontalement, la graduation se trouvant alors sur l'axe horizontal, d'où l'appellation de "boîte à moustaches". Le graphique est parfois fait en dessinant des pattes correspondant au 1er et au 99ème centile, ou même aux valeurs extrêmes.

Le diagramme en boîte d'une série aura l'allure suivante :

min méd Q1 Q3 max

axe gradué

* Lorsque la série est trop importante, que l'on ne connaît pas les valeurs extrêmes ou qu'on les considère comme non significatives, on raccourcit souvent les moustaches au déciles D1 et D9.

* La boîte centrale représente l'intervalle interquartile et contient donc la moitié des données.

* Vous devez légender votre diagramme (min, max, nom de la série) et graduer l'axe.

* On emploie surtout ce type de diagramme pour comparer plusieurs séries entre elles.

Exemple

Deux classes de 1L comparent leurs résultats du trimestre et déclarent : "nos classes ont le même profil puisque dans les deux cas la médiane des résultats est 10". Qu'en pensez-vous ?

notes 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1er décile

9ème décile

3ème quartile

1er quartile

médiane

effectifs 1L1 0 3 4 4 5 7 3 4 2 1 0 0

effectifs 1L2 2 4 3 3 3 4 3 2 2 3 1 2

1. Vérifier que les deux médianes valent 10 et déterminer les quartiles de chaque série.

2. Tracer côte à côte les diagrammes en boites de ces deux séries.

Pour la 1L1 : L'effectif total est 3+4+4+…+1 = 33 ;   1

33 1 17 2

  donc la médiane est le 17ème terme de

la série : méd = 10 ; 1

33 8,25 4   donc le 1er quartile est le 9ème terme de la série : Q1 = 8 ;

3 33 24,75

4  

donc le 3ème quartile est le 25ème terme de la série : Q3 = 11.

Pour la 1L2 : L'effectif total est 2+4+3+…+2 = 32 ;   1

32 1 16,5 2

  donc la médiane est la moyenne des

16ème et 17ème terme de la série : méd = 10 ; 1

32 8 4   donc le 1er quartile est le 8ème terme de la série : Q1

= 7 ; 3

32 24 4   donc le 3ème quartile est le 24ème terme de la série : Q3 = 12.

Diagrammes en boîtes :

5 10 15 notes

max min

1L1

1L2

Bilan : Le graphique ci-dessus met bien en évidence que l'écart interquartile et l'étendue sont plus resserrés en 1L1 qu'en 1L2 donc les élèves de 1L1 ont globalement un niveau plus homogène que ceux de 1L2.

Dans la pratique :

* On utilise très peu le mode et l'étendue (faciles à déterminer mais simplistes !).

* On utilise la médiane, quartiles, déciles et écart interquartile surtout pour les séries à grands effectifs (pas de calculs, il suffit d'ordonner la série ; peu sensible aux valeurs douteuses).

* On utilise souvent la moyenne et l'écart type pour des séries de tailles intermédiaires ou des séries gaussiennes (la moyenne reste l'indicateur le plus intuitif ; intérêt des plages de normalité).

Riche ou pauvre (Midi Libre du 15/01/07, Paul Villemus)

Que veut dire être riche ou être pauvre en France en 2007 ? La notion de richesse est éminemment ambiguë et subjective. En économie, la richesse d’un individu s’exprime en termes monétaires et est composée de ses revenus et de son patrimoine. D’après l’INSEE, le revenu moyen net d’impôt, en 2004, était de 29 000 euros par an et par ménage soit 2417 € par mois. L’ensemble des revenus disponibles était constitué des revenus du travail (69,7 % du total), des pensions (21,7 %), des revenus du patrimoine (loyers encaissés, intérêts des placements financiers, pour 3 %), des prestations familiales et sociales (3,7 %, y compris logement social) et des minima sociaux (1,2 %).

En économie on utilise un autre critère de mesure que la moyenne : la médiane. La médiane est la valeur qui partage la population en deux parties de même effectif. Ainsi le revenu disponible médian net d’impôt en France est de 2 042 € par mois : la moitié des ménages gagne plus et l’autre moitié gagne moins. Le seul salaire médian s’élève à 1 750 € par mois. D’ores et déjà on peut dire qu’un salaire de 4 000 € net par mois est plus de deux fois supérieur à la médiane nationale. Mais gagner 4 000 € si l’on vit seul ou à plusieurs ce n’est pas la même chose. Les statisticiens, jamais à court d’imagination, ont inventé la notion de niveau de vie.

Quand on parle de niveau de vie d’un individu, on désigne toutes les ressources perçues par le ménage divisées par le nombre d’unités de consommation (UC) du ménage : la première personne vaut 1 UC, les

autres 0,5 UC chacune si elles ont moins de 14 ans et 0,3 UC sinon. Les revenus sont donc les sommes perçues par le ménage dans son ensemble (quel que soit le nombre de personnes du ménage) et le niveau de vie, les ressources par unité de consommation. Le niveau de vie moyen français est de 1 502 € par mois en 2004, la médiane étant de 1 314 € par mois.

Il n’y a pas en économie de « seuil de richesse », en revanche, il existe dans beaucoup de pays et en France en particulier, un « seuil de pauvreté ». Selon l’INSEE il est égal à 50 % du niveau de vie médian de la population, soit 657 € par personne. Il y a donc en France 6 % de pauvres dans la population totale, soit 3,6 millions de personnes et 1,6 million de ménages pauvres ! Si on appliquait le seuil de pauvreté utilisé par l’Union Européenne (60 % du niveau de vie médian), on aurait 6,9 millions de pauvres en France !!!

On pourrait considérer que les « riches » sont ceux qui ont un niveau de vie deux fois supérieur au niveau de vie médian ou qui ont deux fois plus de revenus disponibles que le revenu net médian. Seraient alors considérés comme riches une personne seule touchant plus de 2 400 € par mois, un couple gagnant 4 500 €, et une famille avec deux enfants de moins de 14 ans touchant 6 100 €.

Avec ces revenus disponibles on appartient aux 10 % des personnes les plus « aisées » de France. Mais pour évaluer la richesse d’une personne, il faut également connaître son patrimoine. Car si l’on est propriétaire ou locataire, cela induit de grosses différences de niveau de vie. Le patrimoine médian des ménages est de 165 000 € en 2004. En France, 450 000 ménages, soit 2 % des contribuables, ont aquittté l’ISF. Pour payer l’ISF il faut avoir un patrimoine net supérieur à 760 000 € (y compris la résidence principale), soit 4,5 fois le patrimoine médian. Le nombre d’assujettis a doublé depuis 1999. Les Français ont toujours tendance à surestimer le « seuil psychologique et virtuel de richesse ». Etre pauvre, en revanche, est bien une situation objective et socialement dégradante.

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : traitement statistique d’un contrôle d’épaisseur

Le contrôle d’une production de tablettes en bois est effectué toutes les heures par prélèvement d’un échantillon de 20 éléments. On effectue un relevé de l’épaisseur de chaque élément.

L’épaisseur normale est de 18 mm. Une pièce sans défaut est une pièce dont l’épaisseur ne s’écarte pas de plus de 0,5 mm de l’épaisseur normale.

Les pièces ne correspondant pas à cette exigence sont classées en deux catégories :

Défaut mineur L’épaisseur s’écarte de 0,5 à 1 mm de

l’épaisseur normale. Défaut qui ne nécessite pas d’opération de

reprise.

Défaut majeur L’épaisseur s’écarte de 1 à 2 mm de

l’épaisseur normale.

Défaut qui permet d’atteindre le stade suivant sous réserve d’opérations

particulières sur cet élément ou un autre.

Lors d’un contrôle on a relevé les épaisseurs suivantes (en mm) :

Epaisseur en mm

16,6 16,8 17,2 17,3 17,6 17,7 17,8 17,9 18 18,2 18,3 18,4 18,8

Effectif 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 3 1

1. a. Quel est le nombre de pièces présentant un défaut mineur ?

b. Quel est le nombre de pièces présentant un défaut majeur ?

c. Quel pourcentage de l’échantillon est constitué par des pièces présentant un défaut ?

2. a. Calculer l’épaisseur moyenne x de l’échantillon ; arrondir au centième de mm.

b. Calculer l’écart-type  de l’échantillon.

c. Quel est le pourcentage de pièces dont l’épaisseur est dans l’intervalle ;x x     ? Ces données

semblent-elles gaussiennes ?

3. Si l’épaisseur moyenne s’écarte de plus de 0,25 mm de l’épaisseur normale, un réglage de la machine doit être effectué. Est-ce le cas ?

Correction

1. a. On a un défaut mineur si l’épaisseur est entre 17 et 17,5 mm ou lorsque l’épaisseur est entre 18,5 et 19 mm ; on a donc 3 tablettes qui ont ce défaut.

Epaisseur en mm

16,6 16,8 17,2 17,3 17,6 17,7 17,8 17,9 18 18,2 18,3 18,4 18,8

Effectif 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 3 1

b. On a un défaut majeur pour une épaisseur entre 16 et 17 mm ou entre 19 et 20 mm, soit 2 pièces.

c. Il y a donc 5 pièces présentant un défaut, soit 5 sur 20, soit 25 %.

2. a. b. Les calculs donnent :

moyenne x 17,83

variance 0,29

ecart-type  0,54

c. Il y a 13 éléments dans l’intervalle  ; 17,28 ; 18,37x x      , soit 65 %. Il semblerait que les

données soient gaussiennes.

3. 18−0,25=17,75 ; or la moyenne est de 17,83, soit un écart de 0,17 mm. Il n’est donc pas nécessaire de faire de réglage.

Exercice 2 : Pluviométrie (bac)

On se propose dans cet exercice de comparer les régimes pluviométriques de différentes villes de Bretagne et de Provence : sur une période de 38 ans, on a mesuré, en millimètres d’eau par m2, les quantités de pluie tombées chaque année sur chacune de ces villes (pour simplifier le langage, on donnera le nom de pluviométrie à ces quantités).

Partie I : dans la ville de Brest

On donne ci-dessous, les valeurs de pluviométrie de Brest (en millimètres par m2), classées dans l’ordre croissant :

782,0 840 860,4 872,5 886,4 913,9 971,2 983,6 994,5 1029,7

1029,7 1031,8 1039,9 1045,7 1053,4 1061,1 1062,7 1097,8 1099,8 1101,0

1137,4 1140,2 1174,1 1180,9 1208,7 1209,6 1222,1 1224,1 1233,3 1238,9

1269,1 l269,4 1281,8 1297,2 1313,4 1383,3 I462,7 1603,6

1. Calculer la moyenne de la pluviométrie à Brest pour les 6 années où la pluviométrie a été la plus faible.

2. Calculer, en détaillant, le premier quartile, la médiane et le troisième quartile de la série des 38 valeurs, puis compléter le tableau de l’annexe 1 à rendre avec la copie.

3. Construire la boîte à moustaches correspondant à la pluviométrie de Brest sur le diagramme figurant en annexe 2 à rendre avec la copie (comme pour les autres diagrammes, les extrémités des « pattes » seront constituées des premier et neuvième déciles, donnés dans le tableau de l’annexe 1).

Partie II : dans l’ensemble des villes

À l’aide des renseignements figurant dans les annexes 1 et 2, répondre aux questions suivantes :

1. Pour quelle ville, l’écart interquartile est-il le plus faible ? Combien cet écart vaut-il ?

2. Citer les villes dans lesquelles, pour au moins 50% des années, il est tombé plus de 900 mm d’eau par m2.

3. Interpréter concrètement, en faisant une phrase, le fait que, pour la pluviométrie de Marseille, le premier quartile est égal à 447.

4. a. En observant les diagrammes de l’annexe 2, trouver la région dans laquelle se trouvent les deux villes ayant la pluviométrie la plus irrégulière. La réponse sera argumentée.

b. Quelles autres données, figurant dans l’annexe 1, permettent la même conclusion ?

Correction

Partie I : dans la ville de Brest

Pluviométrie de Brest (en millimètres par m2), classées dans l’ordre croissant :

782,0 840 860,4 872,5 886,4 913,9 971,2 983,6 994,5 1029,7

1029,7 1031,8 1039,9 1045,7 1053,4 1061,1 1062,7 1097,8 1099,8 1101,0

1137,4 1140,2 1174,1 1180,9 1208,7 1209,6 1222,1 1224,1 1233,3 1238,9

1269,1 l269,4 1281,8 1297,2 1313,4 1383,3 I462,7 1603,6

1. On fait la moyenne des six premiers termes du tableau : 859,2.

2. Q1 : 38/4=9,5 : on prend la moyenne du 9ème et du 10ème terme : 1012,1.

Médiane : 38/2=19 ; on prend le 19ème terme, soit 1099,8.

Q3 : 38*3/4=28,5 : on prend la moyenne du 28ème et du 29ème terme : 1228,7.

Villes de Bretagne Villes de Provence Brest Dinard Lorient Nantes Marseille Montélimar Nice Toulon

Minimum 840 499,7 638,1 567 221,7 512,1 412,4 331,2

D1 872,5 597,8 698,1 632,8 369,8 675,8 538 499,2

Q1 1012,1 649,6 808 696 447 753,8 617,2 564,6

Médiane 1099,8 705,35 919,2 765,55 549,65 959,45 801,3 642,9

Q3 1228,7 806,8 1016 878,6 636,6 1077,5 938,6 754,2

D9 1313,4 886,5 1119,4 982,8 705,8 1145,2 1089,3 922,4

Maximum 1603,6 1021,2 1307,5 1076,1 901,5 1389,2 1203,9 886,3

Moyenne 1121,2 725,6 919,8 791,3 543,7 927,6 798,9 673,6

écart- type 174,3 119,8 150,8 127,8 142,3 204,9 208,7 163,7

3.

Partie II : dans l’ensemble des villes

1. L’écart interquartile est le plus faible pour Dinard où il vaut 157,2.

2. Il faut que la médiane soit supérieure à 900 : cela concerne Brest, Lorient, Montélimar.

3. A Marseille le premier quartile est égal à 447, donc pendant 25 % des années il est tombé moins de 447 mm d’eau au m2.

4. a. On a une pluviométrie irrégulière si l’intervalle interquartile est grand : les deux plus grand sont pour Nice et Montélimar.

b. L’écart-type donne le même type d’indication : c’est le plus grand dans ces deux mêmes villes.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome