Travaux pratiques de mathématique 7 - 3° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 7 - 3° partie, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur les statistiques - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Écriture de mots, Nombre de mots possibles de longueur donnée, Les amours de la règle et du compas, Ann...
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33. Antilles, septembre 2004, 12 points

Écriture de mots

La langue française comporte 26 lettres de l’alphabet plus les lettres avec accents ou tréma, soit 36 caractères qui permettent d’écrire les mots.

Un mot est une liste de caractères distincts ou non ayant un sens ou non, par exemple « cab » et « eta » sont deux mots.

Un mot simple est un mot dont les caractères sont tous distincts. Par exemple « cab» est un mot simple mais « cca » n’est pas un mot simple.

La longueur d’un mot est le nombre de caractères qui le composent : par exemple, le mot « littéraire » a pour longueur 10.

Partie A - Nombre de mots possibles de longueur donnée

On souhaite calculer :

le nombre N de mots possibles de longueur inférieure ou égale à 5.

le nombre S de mots simples possibles ayant une longueur donnée inférieure ou égale à 5.

On décide d’utiliser un tableur. La feuille de calcul correspondant à ce travail est donnée ci-dessous. Compléter ce tableau au fur et à mesure.

A B C

1 Longueur du mot Nombre de mots

possibles Nombre de mots simples possibles

2 1 36 36

3 2 1 296 1 260

4 3

5 4

6 5

7 Total

1. Calcul de N

a. Justifier les résultats des cellules B2 et B3.

b. On admet que les résultats de la colonne B sont les premiers termes d’une suite géométrique. Montrer que la raison de cette suite est égale à 36. Donner le premier terme.

c. Quel type de croissance cette suite traduit-elle ?

d. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 pour que par recopie on obtienne les termes de la suite jusqu’à la cellule B6 ?

e. Compléter la colonne B jusqu’en cellule B6.

f. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B7 pour obtenir N ? Calculer N.

2. Calcul de S

a. Justifier les résultats des cellules C2 et C3.

b. Justifier que l’on peut saisir dans la cellule C3 la formule suivante = C2*(36 − A2) pour que par recopie jusqu’en la cellule C6 on obtienne les nombres demandés.

c. Compléter la colonne C.

d. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C7 pour obtenir le nombre demandé S ? Calculer S.

Partie B

Un texte de Charles Perrault est écrit en quatre langues :

Les amours de la règle et du compas

En français

Les amours de la règle et du compas

Toutefois nos amours, répliqua le compas

Produiront des enfants qui vaincront le trépas

De nous deux sortira la belle architecture

Et mille nobles arts pour polir la nature, [. . . ]

Le compas aussitôt sur un pied se dressa ,

Et de l’autre, en tournant un grand cercle traça.

La règle en fut ravie et soudain se vint mettre

Dans le milieu du cercle, et fit le diamètre.

Son amant l’embrassa, l’ayant à sa merci

Tantôt s’élargissant et tantôt raccourci

Et l’on vit naître de leurs doctes postures

Triangles et carrés et mille autres figures

En anglais

A love story between a ruler and a compass

Hovewer, our love, replied the compass

Will produce children who will overcome death

Fromus both a beautiful architecture will come out

And a thousand noble arts to enhance nature

Immediately, the compass stood on his foot

While he drew a great circle with the other one

The ruler was delighted and suddenly came to lie

In the center of the circle and draw a diameter

Her lover kissed her, having her at his mercy

Either widening or shortening

And came to birth, from their learned posture

Triangles and squares and a thousand other figures

En italien

Gli amori della riga del compasso

Tuttavia, i nostri amori, replicó il compasso

Produrranno figli che vinceranno iltra passo,

Da noi due uscira la bell’arcittetura,

Emille nobili arti per raffinare la natura.

Subito el compasso su in piede si raddrizz‘o,

E dell’altro, girando, un gran cerchio disegn‘o.

La riga ne fu meravigliata, e ad une tratto venne a collocarsi

Nelmezzo del cerchio, e fece il diametro.

Siccome era in babia dell’amante, questo bacio,

Ora allargandosi, ora accoorciato,

E dalle loro dotte posture, si video nascere

Triangoli e quadrati emille altre figure.

En allemand

Die Liebschaften des Lineals und des Kompass

Immerhin wird unsere Liebe Kinder erzeugen,

Erwidere der Kompass, die den Tod überwinden werden.

Aus uns beidenwerden schöne Architktur und tausende vornehme

Künste entstehen, um die Natur zu verfeinern.

Sogleich erhob sich der Kompass auf einen Fuß

Und mit dem anderen entwarf er einen groußen Kreiss.

Das Lineal war entzückt und bildete den Durchmesser.

Sien Liebhaber umarmte es, es war ihmausgeliefert.

Bald dehnte er sich aus, bald zog er sich zusamla

men.

Aus ihren gelehten Haltungen entwickelten sich

Quadrate und Dreiecke und tausende andere Gestalten.

Le tableau donne le nombre de mots d’une longueur donnée dans chacune des langues.

Longueur du mot 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Nombre de mots en français 6 32 9 7 14 19 4 6 4 1 1 1 104

Nombre de mots en anglais 8 10 24 16 13 8 12 7 3 1 1 1 104

Nombre de mots en italien 10 19 11 9 15 10 8 7 3 3 1 3 99

Nombre de mots en allemand

0 7 29 8 7 11 7 11 6 2 2 3 93

Construire les diagrammes en boîte des quatre séries statistiques correspondant aux quatre langues.

34. France, septembre 2004, 8 points

On s’intéresse au jeu « Keno » de la Française Des Jeux.

L’une des façons de jouer est la suivante : dans une grille contenant une fois chacun les nombres de 1 à 70, on choisit 10 numéros. Un tirage au sort de 20 numéros a lieu : une grille est gagnante dans l’un des deux cas suivants :

- soit aucun des numéros sortis n’a été trouvé ;

- soit au moins cinq numéros sortis ont été trouvés.

Dans l’annexe 1 on trouve un extrait tiré des règles figurant au dos des bulletins.

Sur 10000 bulletins, on a obtenu les résultats suivants :

nombre de numéros

trouvés

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

effectif 254 1253 2521 292

2 1962 822 220 41 5 0 0

Par exemple, le nombre de bulletins où on a trouvé exactement deux bons numéros est de 2521.

1. a. Combien y a-t-il de bulletins gagnants ?

b. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

c. Ce pourcentage est-il proche du « 1 sur 7,4 » annoncé dans le tableau de l’annexe ?

2. Sur l’échantillon observé, combien un bulletin contient-il de bons numéros en moyenne ?

3. Déterminer, en expliquant votre démarche, la médiane ainsi que le premier et le troisième quartile de la série résumée par le tableau.

4. Construire le diagramme en boîte correspondant.

5. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse en utilisant uniquement les indicateurs de la série.

a. Au moins lamoitié des bulletins comporte au plus 2 bons numéros.

b. 25 % au plus des bulletins comportent 4 bons numéros ou davantage.

c. Au moins 50 % des bulletins comportent de 2 à 4 bons numéros.

6. Les 10 000 joueurs ont misé 3 € chacun : ils ont donc dépensé 30 000 €. Calculer le total des gains redistribués.

Annexe

Numéros joués par grille

Vos chances totales de gagner

Numéros trouvés par

grille

Vos chances totales de gagner

Gain x fois la mise

Gain pour une mise de 1,5 €

Gain pour une mise de 3 €

10 numéros 1 sur 7,4 10

9

8

7

6

5

0

1 sur 2147181

1 sur 47238

1 sur 2571

1 sur 261

1 sur 44

1 sur 12

1 sur 39

x 200 000

x 2 500

x 100

x 10

x 5

x 2

x 2

300 000 €

3750 €

150 €

15 €

7,5 €

3 €

3 €

600 000 €

7 500 €

300 €

30 €

15 €

6 €

6 €

35. Pondicherry, avril 2005, 8 points

Un fabricant de barres chocolatées a fait imprimer, en grande quantité, le même nombre d’images de trois chanteuses Mlle Pinson, Mlle Rossignol et Mlle Décibel.

L’image de Mlle Pinson porte le n° 1 celle de Mlle Rossignol le n° 2, et celle de Mlle Décibel le n° 3. Une machine insère au hasard une image dans chaque barre chocolatée fabriquée.

Il y a autant de barres chocolatées contenant l’image de chaque chanteuse.

Chaque jour, Aline achète une barre chocolatée. Elle voudrait obtenir la collection complète des trois chanteuses et se demande au bout de combien de jours elle l’obtiendra.

Partie 1

Aline a répertorié à l’aide d’un arbre les différentes images qu’il est possible d’obtenir sur trois jours. Cet arbre, partiellement complété, se trouve dans l’annexe 2.

Par exemple, la 3e possibilité 1 1 3 signifie que le premier jour, la barre chocolatée contient l’image de Mlle Pinson, le deuxième jour, elle contient celle de Mlle Pinson, et le troisième jour celle de Mlle Décibel.

1. Parmi ces 27 possibilités, combien en compte-t-on qui permettent d’obtenir une collection complète ?

2. Y a-t-il plus de 25% des cas dans lesquels on obtient une collection complète ? Justifiez.

Aline veut obtenir la collection complète. Son argent de poche étant limité, elle aimerait estimer le nombre de jours au bout desquels elle peut espérer obtenir la collection complète. Elle va pour cela effectuer des simulations.

Partie 2

Elle effectue une simulation en faisant afficher à sa calculatrice une liste aléatoire de nombres, de telle manière que chacun des nombres 1, 2 et 3 ait la même chance d’apparition.

Voici la liste qu’elle obtient

1 1 1 1 1 3 1 2 1 3

Selon cette simulation, les cinq premiers jours, Aline découvre dans sa barre chocolatée l’image de Mlle Pinson, le 6e jour, celle de Mlle Décibel, le 7e jour celle de Mlle Pinson, le 8e jour celle de Mlle Rossignol, le 9e jour celle de Mlle Pinson, et le 10e celle de Mlle Décibel.

Aline est donc en possession de la collection complète au 8e jour.

Imaginez, sur le modèle précédent, une liste de 9 nombres conduisant à la collection complète obtenue au 5e jour.

Partie 3

Pour se faire une idée plus précise, Aline effectue 1000 simulations à l’aide de sa calculatrice. Les résultats obtenus figurent dans le tableau suivant :

nombre de jours nécessaires

à l’obtention de la collection complète

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Effectifs 227 203 17 9

12 6

9 9

56 40 25 18 12 4 3 3 2 1 2

Cela signifie par exemple que parmi les 1 000 simulations, 203 sont des situations pour lesquelles la collection complète des images est obtenue au 4e jour.

1. Déterminez la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série statistique.

2. Aline formule deux remarques en observant ces résultats simulés.

Remarque 1 : Dans au moins 50% des situations simulées la collection complète est obtenue au plus tard le ...... jour.

Remarque 2 : Dans . . . . . . % des situations simulées, la collection complète des images est obtenue au plus tard le 7e jour.

Recopiez ces remarques sur votre copie et complétez-les.

3. Aline affirme : « Au bout de 18 jours, je suis sûre d’obtenir la collection complète ». Que pensez-vous de cette affirmation ?

36. Amérique du Nord, juin 2005, 12 points

Les jeux olympiques de 2004 se sont déroulés en Grèce, à Athènes. Le tableau donné en annexe a été obtenu à l’aide d’un tableur. Il indique, pour chacun des 75 pays participants et dans l’ordre des colonnes de A à J :

- le rang du pays dans le classement officiel (classement effectué suivant le nombre de médailles d’or gagnées puis, en cas d’égalité, suivant le nombre de médailles d’argent et, en cas de nouvelle égalité, suivant le nombre de médailles de bronze),

- le nom du pays,

- les nombres de médailles d’or, d’argent et de bronze obtenues par pays,

- le nombre total de médailles par pays,

- le pourcentage de médailles gagnées par pays, arrondi à 10−1 près,

- la population du pays en millions d’habitants, arrondie à 10−1 près,

- le nombre total de médailles d’or par million d’habitants du pays, arrondi à 10−2 près,

- le rang du pays dans le classement du nombre de médailles d’or par million d’habitants.

Partie A

Pour le tableau de l’annexe 1, on utilise la convention suivante : la notation F8, par exemple, est l’adresse de la cellule située à l’intersection de la colonne F et de la ligne 8. Le contenu de trois cellules a été volontairement masqué. Le format des cellules contenant des valeurs numériques de ce tableau est celui des nombres lus.

1. Parmi les cellules B79, E13, F33, H8 et J1 de ce tableau, indiquer celles qui contiennent :

a. du texte,

b. une variable,

c. une formule.

2. On a obtenu les résultats de la colonne F du tableau à l’aide d’une formule saisie dans la cellule F2.

a. Quelle est cette formule ?

b. Quelle est l’action la plus rapide donnant les formules permettant d’obtenir les résultats lus dans les cellules F3 à F76 ?

c. Donner alors la formule contenue dans la cellule F8.

3. a. Indiquer la formule contenue dans la cellule I8.

b. Quel est le résultat affiché dans la cellule I8 ?

4. a. Donner la formule contenue dans la cellule C79 qui permet de calculer le nombre total de médailles d’or gagnées.

b. Donner la formule contenue dans la cellule C80 qui permet de calculer la moyenne du nombre de médailles d’or gagnées, par pays.

c. Donner la formule contenue dans la cellule C81 qui permet de calculer le plus grand nombre de médailles d’or gagnées.

5. a. Calculer le pourcentage de médailles gagnées par les Etats-Unis par rapport au nombre total de médailles distribuées (arrondi à 10−1 près).

b. Indiquer la formule permettant d’obtenir le résultat de la cellule G2, sachant que cette formule doit utiliser la cellule F79 et doit être recopiable pour obtenir les résultats des cellules G3 à G76.

6. On compare les classements des colonnes A et J du tableau. Donner deux exemples illustrant l’intérêt de réaliser ces deux classements.

Partie B

1. Dans cette question, on s’intéresse à la série concernant les médailles de bronze. Déterminer, en expliquant votre démarche, la médiane de cette série.

Pour cela, utiliser et compléter si besoin le tableau de l’annexe 2 qui sera à joindre à la copie.

2. Maintenant, on s’intéresse aux deux séries concernant les médailles d’or et les médailles d’argent. On a obtenu les résultats suivants :

Indicateur

médailles moyenne écart-type 1er quartile médiane 3e quartile

D’or 4,0 6,75 1 2 4

D’argent 4,0 6,31 0 2 5

Utiliser ce tableau pour répondre aux questions suivantes :

a. La dispersion par rapport à la moyenne du nombre de médailles d’or gagnées est-elle supérieure à celle des médailles d’argent ? Justifier.

b. Interpréter sous forme d’une phrase le fait que le 1er quartile de la série des médailles d’argent soit nul.

c. Que peut-on dire des phrases suivantes ? Justifier.

Phrase 1 : au moins 25 % des pays participant aux jeux olympiques n’ont pas gagné de médaille d’argent.

Phrase 2 : plus de 50 % des pays participant aux jeux olympiques ont gagné au moins trois médailles d’or.

ANNEXE

A B C D E F G H I J

1

Rang

officie l

Pays Or Argent Bronze Tota

l

Pourcentag e

de médailles

gagnées

Population

(en millions)

d’habitants

Médailles

d’or par

million

d’habitants

Rang par rapport au nombre de

médailles d’or par million

d’habitants

2 1 Etats Unis 35 39 29 103 291,5 0,12 33

3 2 Chine 32 17 14 63 6,8% 1288,7 0,03 52

4 3 Russie 27 27 38 92 9,9% 145,5 0,19 24

5 4 Australie 17 6 16 49 5,3% 19,9 0,85 3

6 5 Japon 16 9 12 37 4,0% 127,5 0,13 31

7 6 Allemagne 14 16 18 48 5,2% 82,6 0,17 28

8 7 France 11 9 13 33 3,6% 6,6 57

9 8 Italie 10 11 11 32 3,4% 57,2 0,18 25

10 9 Corée du Sud 9 12 9 30 3,2% 47,9 0,19 22

11 10 Grande-Bretagne 9 9 12 30 3,2% 59,2 0,15 27

12 11 Cuba 9 7 11 27 2,9% 11,3 0,80 4

13 12 Ukraine 9 5 9 23 2,5% 47,8 0,19 22

14 13 Hongrie 8 6 3 7 1,8% 10,1 0,79 5

15 14 Roumanie 8 5 6 19 2,0% 21,6 0,37 11

16 15 Grèce 6 6 4 16 1,7% 11,0 0,55 8

17 16 Norvège 5 0 1 6 0,6% 4,6 1,09 2

18 17 Pays-Bas 4 9 9 22 2,4% 16,2 0,25 18

19 18 Brésil 4 3 3 10 1,1% 176,5 0,02 53

20 19 Suède 4 1 2 7 0,8% 9,0 0,44 9

21 20 Espagne 3 11 5 19 2,0% 41,3 0,07 42

22 21 Canada 3 6 3 12 1,3% 31,6 0,10 37

23 22 Turquie 3 3 4 10 1,1% 71,2 0,04 48

24 23 Pologne 3 2 5 10 1,1% 38,6 0,08 40

25 24 Nouvelle-Zélande 3 2 0 5 0,5% 4,0 0,75 7

26 25 Thaïlande 3 1 4 8 0,9% 63,1 0,05 47

27 26 Belarus 2 6 7 15 1,6% 9,9 0,20 21

28 27 Autriche 2 4 1 7 0,8% 8,2 0,24 19

29 28 Ethiopie 2 3 2 7 0,8% 70,7 0,03 51

30 29 Slovaquie 2 2 2 6 0 ,6% 5,4 0,37 11

31 29 Iran 2 2 2 6 0 ,6% 66,6 0,03 50

32 31 Taïwan 2 2 1 5 0,5% 22,6 0,09 38

33 32 Géorgie 2 2 0 4 0,4% 4,7 0,43 10

34 33 Bulgarie 2 1 9 12 1,3% 7,5 0,27 15

35 34 Ouzbékistan 2 1 2 5 0,5% 25,7 0,08 40

36 34 Jamaïque 2 1 2 5 0,5% 2,6 0,77 6

37 36 Maroc 2 1 0 3 0,3% 30,4 0,07 41

38 37 Danemark 2 0 6 8 0,8% 5,4 0,37 11

39 38 Argentine 2 0 4 6 0,6% 36,9 0,05 46

40 39 Chili 2 0 1 3 0,3% 15,8 0,13 30

41 40 Kazakhstan 1 4 3 8 0,9% 14,8 0,07 43

42 41 Kenya 1 4 2 7 0,8% 31,6 0,03 49

43 42 République tchèque 1 3 4 8 0,9% 10,2 0,10 35

44 43 Afrique du Sud 1 3 2 6 0,6% 44,0 0,02 53

45 44 Croatie 1 2 2 5 0,5% 4,3 0,23 20

46 45 Lithuanie 1 2 0 5 0,3% 3,5 0,29 14

47 46 Suisse 1 1 3 5 0,5% 7,3 0,14 29

48 46 Egypte 1 1 3 5 0,5% 72,1 0,01 55

49 48 Indonésie 1 1 2 4 0,4% 220,5 0,01 56

50 49 Zimbabwe 1 1 1 3 0,3% 12,6 0,08 39

51 50 Azerbaïdjan 1 0 4 5 0,5% 8,2 0,12 32

52 51 Belgique 1 0 2 3 0,3% 10,4 0,10 36

53 52 Israël 1 0 1 2 0,2% 6,7 0,15 28

54 52 Bahamas 1 0 1 2 0,2% 0,3 3,23 1

55 54 Rép. Dominicaine 1 0 0 1 0,1% 8,7 0,12 34

56 54 Emirats 1 0 0 1 0,1% 3,9 0,26 16

57 54 Eire 1 0 0 1 0,1% 4,0 0,25 17

58 54 Cameroun 1 0 0 1 0,1% 15,7 0,06 45

59 58 Corée du Nord 0 4 1 5 0,5% 22,7 0,00 57

60 59 Lettonie 0 4 0 4 0,4% 2,3 0,00 57

61 60 Mexique 0 3 1 4 0,4% 104,9 0,00 57

62 61 Portugal 0 2 1 3 0,3% 10,4 0,00 57

63 62 Serbie-Monténégro 0 2 0 2 0,2% 10,7 0,00 57

64 62 Finlande 0 2 0 2 0,2% 5,2 0,00 57

65 64 Slovénie 0 1 3 4 0,4% 104,9 0,00 57

66 65 Estonie 0 1 2 3 0,3% 1,4 0,00 57

67 66 Paraguay 0 1 0 1 0,1% 6,2 0,00 57

68 66 Inde 0 1 0 1 0,1% 1068,6 0,00 57

69 66 Hong-Kong 0 1 0 1 0,1% 6,8 0,00 57

70 69 Vénézuela 0 0 2 2 0,1% 25,7 0,00 57

71 69 Nigéria 0 0 2 2 0,1% 133,9 0,00 57

72 71 Trinidad-et-Tobago 0 0 1 1 0,1% 1,3 0,00 57

73 71 Syrie 0 0 1 1 0,1% 17,5 0,00 57

74 71 Mongolie 0 0 1 1 0,1% 2,5 0,00 57

75 71 Erythrée 0 0 1 1 0,1% 4,4 0,00 57

76 71 Colombie 0 0 1 1 0,1% 44,2 0,00 57

77

78

79 Total des Médailles

gagnées 301 301 327 929

80 Nombre moyen

de médailles gagnées 4,0 4,0 12,4

81

Plus grand

Nombre de

médailles gagnées

35 39 38 103

82 (selon les résultats officiels des J.O et l’institut national d’études démographiques)

Partie B, question 1.

Dans le tableau suivant, les données de la deuxième ligne indiquent que 14 pays n’ont obtenu aucune médaille de bronze.

Nombre de médailles de bronze

Effectif

0 14

1 15

2 14

3 7

4 6

5 2

6 2

7 1

9 4

11 2

12 2

13 1

14 1

16 1

18 1

29 1

38 1

37. Antilles, juin 2005, 8 points

Le tableau 1 donné dans l’annexe donne la répartition, selon le prix, de 1 000 billets « séjour » vendus par une agence de voyage pour la période de mai à septembre.

L’annexe est à rendre avec la copie.

Les pourcentages demandés seront arrondis au dixième. Les autres résultats seront arrondis au centième.

1. Calculer, en pourcentage, les fréquences de la répartition, selon le prix, de ces 1 000 billets, puis calculer les fréquences cumulées croissantes. Compléter le tableau 1.

2. Construire dans le repère de l’annexe 1 le diagramme en bâtons des fréquences de la série des prix de l’ensemble de ces séjours.

3. a. Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de la série des prix des billets.

b. Construire sur l’axe donné en annexe le diagramme en boîte de cette série de prix.

c. En utilisant ce diagramme en boîte, recopier et compléter la phrase suivante :

« Au moins 75 % des billets ont un prix inférieur ou égal à . . . . . . ».

4. Calculer la moyenne x des prix des billets.

5. L’agence réalise un bénéfice sur chaque billet qui s’élève à 12% du prix de vente du billet. Quel est le bénéfice moyen par billet?

Annexe (à rendre avec la copie)

Tableau 1

Destination du séjour Malte Baléares Corse Tunisi

e Turquie Grèce Crète

République

dominicain e

Égypte

Prix du séjour en euros 550 600 650 700 750 775 800 875 900

Nombre de billets « séjour » vendus

30 75 150 130 210 175 150 60 20

Fréquencesen% 3

Fréquences cumulées croissantes en %

3 100

Diagramme en bâtons

0

5

10

15

20

25

500 600 700 800 900 1000

Diagramme en boîte

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050

38. France, juin 2005, 10 points

Un site de vente aux enchères sur Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle.

Les responsables de l’étude utilisent un échantillon de 3000 clients, parmi les plus réguliers du site.

Partie A

La première question concerne l’âge des clients considérés. Les résultats sont donnés par l’histogramme ci- dessous.

1.Compléter, sans justifier, le tableau 3 figurant en annexe.

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer sans justifier (on arrondira les résultats au dixième) :

a. L’âge moyen m des 3000 clients du site de vente aux enchères.

b. L’écart type  de la série des âges des clients.

3. Peut-on estimer que le pourcentage des individus qui ont un âge appartenant à la plage [m−; m+ ] est supérieur ou égal à 75 % ?

Partie B

La seconde question posée aux 3000 clients porte sur la durée moyenne de connexion en minute durant une période d’une semaine.

1. L’étude a montré que la série des durées moyennes de connexion suit une loi de Gauss de moyenne

83, 5  et d’écart type 26,6s  .

a. Déterminer la plage de normalité à 95% de cette série.

b. À combien peut-on estimer le nombre de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine est située en dehors de cette plage ?

2. Pour cette série, le premier quartile Q1 est 65, la médiane Me est 85 et le troisième quartile Q3 est 100.

a. Quel est le nombre minimum de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine sur le site est inférieure ou égale à 65 minutes ?

b. Les responsables du site espéraient qu’au moins 1000 personnes se connecteraient en moyenne 1 heure et 40 minutes ou plus par semaine. Cet objectif est-il atteint ?

Annexe

Tableau 3

classe centre de la classe

effectif fréquence

(en %)

[13 ; 18[

[18 ; 20[

[20 ; 25[ 22,5

[25 ; 30[ 27,5 32

[30 ; 35[ 32,5 18,6

[5 ; 45[ 40 7,4

[45 ; 55[ 1,9

[55 ; 70[ 1

Total ×3000 100

39. La Réunion, juin 2005, 10 points

Les trois parties sont indépendantes

Partie A

Une fabrique de boules de pétanque conçoit des boules de compétition de différentes masses et de différents diamètres. Les trois masses proposées sont 700 g, 720 g et 745 g et pour chacune de ces masses trois diamètres sont proposés : 71 mm, 75 mm, 79 mm.

1. Combien y a-t-il de types de boules fabriquées dans cette entreprise ?

2. Un champion régional décide d’acheter des boules de 720 g, mais il hésite sur le diamètre. Pour faire son choix, il place un cochonnet à 9 mètres, pointe 200 fois avec chacune des boules de différents diamètres et mesure la distance au cochonnet. Voici les diagrammes en boîte élagués aux déciles représentant ce test.

Les extrémités du diagramme sont respectivement le premier et le neuvième décile.

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

cm

A

B

C

Voici quelques sensations du joueur après le test :

« Avec la boule de 79 mm j’ai réussi de très bons lancers mais également de très mauvais. Avec la boule de 71 mm, j’ai eu de très bonnes sensations, la moitié de mes lancers était à moins de 16 cm du cochonnet et j’en ai réussi de très beaux. Mais ma préférence va à la boule de 75 mm avec laquelle je suis plus régulier. »

Associez à chaque type de boule le diagramme en boîte correspondant. Justifiez votre réponse.

Partie B : Vente annuelle en 2004

Les tableaux 1 et 2, extraits d’une feuille automatisée de calcul, donnent pour l’année 2004 la répartition des ventes de boules de pétanque suivant le diamètre et la masse.

A B C D E

1 Tableau 1 : effectif

2 Diamètre (mm)

Masse (en g) 71 75 79 Total

3 700 2157 3123 1803 7083

4 720 3003 4122 2310 9435

5 745 2124 2982 1923 7029

6 Total 7284 10227 6036 23547

7 Tableau 2 : En pourcentage par rapport à l’effectif total

8 Diamètre (mm)

Masse (en g) 71 75 79 Total

9 700

10 720

11 745

12 Total 100 %

1. Calculez le pourcentage, arrondi à 0,1%, de boules de 720 grammes et de diamètre 75mm vendues en 2004.

2. Calculez le pourcentage, arrondi à 0,1%, de boules de 700 grammes et de diamètre inférieur ou égal à 75 mm vendues en 2004.

3. Parmi les boules de 700 g vendues en 2004, quel est le pourcentage, arrondi à 0,1%, de boules de diamètre 79 mm ?

4. Le tableau des pourcentages est au format pourcentage. On propose ci-dessous des formules à écrire dans la cellule B10 et à recopier dans le reste du tableau. Citez la (ou les bonne(s) formule(s).

A : =B3/E6 B : =B3/$E$6 C : = B$3/E6 D : B3/23547

Il n’est pas demandé de compléter le tableau.

Partie C : Boules rejetées

Le tableau ci-dessous donne la répartition desmasses réelles de 2 500 boules de compétition de 720 grammes fabriquées :

Masse (En g)

719,5 719,6 719,7 719,8 719,9 720 720,1 720,2 720,3 720,4 720,5

Effecti f

10 53 178 385 441 524 478 201 165 51 14

1. Calculez la moyenne  des masses de ces 2 500 boules. Vous arrondirez à 3 chiffres après la virgule.

2. On suppose que les données suivent une répartition gaussienne. L’écart-type s de cette série est égal à 0,185. Déterminez la plage de normalité à 95% de cette série.

3. L’entreprise rejette en tant que boules de compétition les boules qui ne sont pas dans la plage de normalité. Calculez le pourcentage, arrondi à 0,1%, de boules rejetées.

40. Liban, juin 2005, 8 points

1 000 élèves de différents lycées ont mesuré la masse volumique du laiton par la méthode du flacon. Les résultats arrondis au dixième ont été regroupés dans le tableau suivant :

Masse volumique en g/cm3

8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 9,1

Effectif 3 19 42 100 200 250 190 113 50 20 7 6

1. Tracer le diagramme en bâtons de cette série (unités graphiques : 1 cm pour 0,1 g/cm3 en abscisse en graduant à partir de 7,9 g/cm3 et 1 cm pour 20 élèves en ordonnée).

2. a. Déterminer, en précisant votre méthode, le premier quartile q1, la médianem et le troisième quartile q3 de cette série.

b. Tracer le diagramme en boîte de cette série en y faisant figurer q1, m, q3 et les valeurs extrêmes de la série (unité : 1 cm pour 0,1 g/cm3).

c. On note l la longueur de l’intervalle interquartile. Calculer le pourcentage des élèves ayant mesuré une masse volumique comprise dans l’intervalle [ml ; m+l].

3. a. Déterminer la valeur exacte de la moyenne  de cette série.

b. Déterminer la valeur approchée à 10−3 par défaut de l’écart type  de cette série.

c. Calculer le pourcentage des élèves ayant mesuré une masse volumique comprise dans l’intervalle [  −2 ;  +2 ] , puis dans l’intervalle [  −3 ;  +3 ].

41. Polynésie, juin 2005, 8 points

La série suivante donne le nombre de jours de neige par année, à Paris, de 1900 à 1948.

Les 49 valeurs de cette série ne sont pas classées par ordre chronologique mais par ordre croissant.

1– 5 – 6 – 6 – 6 – 7 – 7– 7 – 8 – 8

9 –10 –10 –11 –11 – 11 – 12 – 12 – 12 – 12

13 – 13 – 13 – 14 – 14 – 14 – 14 – 15 – 16 – 17

17 – 17 – 18 – 18 – 18 – 18 – 19 – 19 – 20 – 20

20 – 23 – 26 – 29 – 29 – 31 – 32 – 32 – 34

1. a. Calculer le nombre moyen x de jours de neige par année, à Paris, sur la période 1900-1948 (le résultat sera arrondi au dixième).

b. Déterminer la médiane, med, ainsi que le premier et le troisième quartile, Q1 et Q3, de cette série. Justifier chaque réponse.

2. Les nombres de jours de neige par an, à Paris, ont également été relevés de 1949 à 1997. On fournit ci- dessous les caractéristiques de cette nouvelle série statistique.

Minimum

Premier quartile Q1

Médiane med

Troisième quartile Q3

Maximum Moyenne

1 7 12 18 36 13,3

a. Donner l’écart interquartile de chacune des deux séries statistiques donnant le nombre de jours de neige par an, à Paris, sur la période 1900-1948, puis sur la période 1949-1997.

b. Construire sur l’annexe le diagramme en boîtes de chacune de deux séries étudiées.

c. Comparer ces deux diagrammes en boîtes.

3. La série des nombres de jours de neige par an, à Paris, sur la période 1900-1948, a pour écart-type s et celle des nombres de jours de neige par an, à Paris, sur la période 1949-1997 a pour écart-type s’. On admet que s 7,82 et que s’ 8,01.

Que signifie le fait que l’écart-type soit plus élevé pour la deuxième période que pour la première ?

4. À propos de ces relevés météorologiques, divers commentaires ont été relevés dans la presse, dont celui- ci : « Des hivers demoins en moins neigeux au cours du siècle ».

Que peut-on penser de ce commentaire ?

ANNEXE À rendre avec la copie

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