Travaux pratiques de mathématique 9 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 9 - 1° partie, Exercices de Mathématiques primaires

PDF (436.1 KB)
12 pages
67Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de mathématique sur les suites numériques - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, Remarques préalables, Arrondissement.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 12
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Première L

Suites numériques Exercices

1. Exercice 9 2 2. Exercice 10 2 3. Exercice 11 2 4. Exercice 12 2 5. Exercice 13 3 6. France, septembre 2001 4 7. Asie juin 2002 5 8. Centres étrangers juin 2002 6 9. Pondichery, juin 2001 7 10. Pondichery, juin 2002 8 11. Exercice 19 9 12. Exercice 20 9 13. Exercice 21 11 14. Exercice 22 12 15. Pondichéry avril 2003 12 16. Amérique du Nord, juin 2003 13 17. Amérique du Sud nov. 2003 15 18. Nouvelle Calédonie, nov. 2003 16 19. Polynésie sept. 2003 17 20. Antilles, juin 2004, 12 points (c) 18 21. Centres étrangers juin 2004, 10 points 20 22. France, juin 2004, 11 points (c) 21 23. Liban, juin 2004, 12 points 25 24. Amérique du Sud, novembre 2004, 12 points 27 25. Nouvelle Calédonie, novembre 2004, 10 points 28 26. France, septembre 2004, 12 points 29 27. Pondicherry, avril 2005, 12 points 31 28. Amérique du Nord, juin 2005, 8 points 33 29. Centres étrangers, juin 2005, 12 points 34 30. Liban, juin 2005, 12 points 35

1. Exercice 9

On suppose qu'un pin d'un âge compris entre 15 et 30 ans a une croissance régulière annuelle de 40 cm de hauteur. On note h(n) la hauteur en mètres du pin à l'âge n (pour n tel que 15 n 30  ).

1. En supposant dans cette question que h(15) = 22, calculer h(16) et h(17).

2. Montrer que la suite h(n) (pour n tel que 15 n 30  ) est une suite arithmétique.

3. On suppose qu'un pin de 15 ans a une hauteur de 17 m. Quelle sera sa hauteur lorsqu'il aura 30 ans ?

4. On suppose qu'un pin de 28 ans a une hauteur de 28 m. Quelle était sa hauteur lorsqu'il avait 18 ans ?

5. Représenter graphiquement pour n compris entre 15 et 30 la hauteur d'un pin qui mesure 20 m à 15 ans.

2. Exercice 10

Les résultats seront donnés au centime d'euro près.

Le jour anniversaire de ses 18 ans, un jeune possédant 1 700 euros d'économies décide de placer son argent. Une banque lui propose deux sortes de placements :

 placement A : la totalité du capital est placée sur un livret d'épargne au taux de 3,5 % par an à intérêts composés ;

 placement B : 1 300 euros sont placés sur un livret «Jeune» au taux de 4,5 % par an à intérêts composés, et les 400 euros restants sur un compte courant non rémunéré.

Par la suite, on suppose qu'il ne fait plus aucun retrait ou versement.

1. On note Cn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement A.

a. Calculer C1 et C2.

b. Démontrer que Cn est une suite géométrique et exprimer Cn en fonction de n.

2. On note Tn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement B.

a. Calculer T1 et T2.

b. Exprimer Tn en fonction de n.

3. Le livret «Jeune» n'est possible que jusqu'à l'âge de 25 ans.

a. Compléter le tableau suivant :

n 1 2 3 4 5 6 7

Cn

Tn

b. En déduire, en fonction du nombre d'années, le placement le plus avantageux.

3. Exercice 11

Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération :

Type 1 : Salaire initial de 1 200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €.

Type 2 : Salaire initial de 1 100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8 %.

1. Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u(0) le salaire mensuel initial et u(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de u(0), u(1), u(2).

2. Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v(0) le salaire mensuel initial et v(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de v(0), v(1), v(2).

3. Donner une expression générale de u(n) et v(n) en fonction de n. Calculer u(5) et v(5) ; u(8) et v(8).

4. Le nouvel employé compte rester 10 ans dans l'entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse ?

4. Exercice 12

Remarques préalables

– Dans cet exercice on assimile le nombre de bactéries A et B au bout de n semaines à des suites respectivement géométrique et arithmétique. Les nombres de bactéries sont des nombres entiers, mais les termes de la suite géométrique ne le sont en général pas. On fera observer ce problème aux

élèves et on pourra agir sur le format des cellules correspondantes. On peut aussi introduire la suite (E(1,025un)) des parties entières de un et observer les valeurs ainsi obtenues pour déterminer le nombre de bactéries A.

– En situation d’activité de classe, les questions peuvent être beaucoup plus ouvertes. On peut, par exemple, demander aux élèves d’organiser les calculs pour répondre directement à la question 2. a.

Une culture de 4500 bactéries A augmente chaque semaine de 2,5% par rapport à la semaine précédente.

Une culture de 5000 bactéries B augmente de 140 bactéries par semaine.

On note un le nombre de bactéries A et vn le nombre de bactéries B au bout de n semaines.

1. Calculer le nombre de bactéries A et le nombre de bactéries B au bout de quatre semaines et au bout de dix semaines.

2. veut déterminer au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A dépasse celui de bactéries B. On peut pour cela compléter un tableau donnant un et vn en fonction de n, en utilisant un tableur ou une calculatrice.

On a commencé à déterminer les valeurs de un et vn avec un tableur :

1 A B C

2 n unvn

3 0 4500 5000

4 1 4612,5 5140

5 2 4727,8125 5280

6 3 4846,007813 5420

7 4 4967,158008 5560

8 5 5091,336958 5700

9 6 5218,620382 5840

10 7 5349,085892 5980

11 8 5482,813039 6120

12 9 5619,883365 6260

13 10 5760,380449 6400

a. Expliquer par quelle formule on passe de la valeur de la cellule B3 à celle de la cellule B4, puis de la valeur de la cellule B4 à celle de la cellule B5.

b. Même question pour les cellules C3 et C4, puis C4 et C5.

c. A l’aide d’une calculatrice, déterminer à partir de combien de semaines il y a plus de bactéries A que de bactéries B (justifier en donnant en particulier les résultats numériques nécessaires à la compréhension de cette justification).

3. Au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A augmente-t-il de 25% par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A ? Expliquer et justifier la réponse.

5. Exercice 13

Le tableau suivant indique l’évolution de la population d’un pays au cours d’un siècle.

Année 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Population pn en millions d’habitants

5,7 9,6 17 31 50 76

1. Calculer le coefficient multiplicateur qui permet d’obtenir la population en 1920 à partir de celle de 1900. En déduire l’augmentation en pourcentage de cette population.

Cette variation en pourcentage est appelée augmentation relative de la population au cours de cette période de 20 années.

2. Calculer de même les augmentations relatives au cours de chacune des périodes de 20 ans qui suivent.

3. Calculer la moyenne arithmétique m de ces augmentations relatives trouvées à la question précédente. En déduire le coefficient multiplicateur moyen qui ferait passer cette population de 5,7 millions à environ 76 millions en l’appliquant à chaque période de 20 ans jusqu’en 2000. On arrondira ce coefficient en donnant 2 chiffres après la virgule.

4. Vérifier que 1,02620 est voisin du résultat trouvé à la question précédente.

5. On décide de modéliser cette évolution de la population de ce pays à l’aide d’une suite géométrique. Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 5,7 et de raison q = 1,026.

Calculer u20 , u40, u60 , u80, u100.

Représenter sur le même graphique la suite (un) et l’évolution de la population au cours du siècle présentée dans le tableau. On placera les populations sur l’axe des ordonnées.

6. Si on pense qu’au cours des prochaines années, l’évolution de la population va se poursuivre au même rythme et que la suite (un) est un modèle satisfaisant pour la représenter, quelle population peut on prévoir en 2005 dans ce pays ?

6. France, septembre 2001

Voici un extrait d’une étude statistique de l’INSEE concernant l’évolution démographique au cours des années 1975–1990 dans deux arrondissements du département de la Drôme :

Population Taux de variation annuel (en %)

Arrondissement en 1975 en 1982 en 1990 1975–82 1982–90

Die

dont communes rurales

32 168

19 022

33 572

20 309

35 207

21 574

+ 0,61

+ 0,93

+ 0,60

+ 0,76

Valence

dont communes rurales

283 624

71 556

301865

82 110

320 370

94 059

+ 0,89

+ 1,97

+ 0,75

+ 1,71

(Les questions 1 et 2 de l‘exercice ne concernent que la ligne du tableau relative à l’arrondissement de Die.).

1. Le tableau signale une augmentation annuelle de 0,61 % pour la période 1975–1982.

a. Déterminer le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la population de 1975 à 1976. Quel est celui qui permet de passer de la population de 1976 à celle de 1977 ?

b. En déduire quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer directement de 1975 à 1982. Vérifier que la population recensée en 1982 est conforme à cette augmentation.

2. On suppose dans cette question que le taux de variation annuel dans l’arrondissement de Die est de 0,60 pour la période 1975–1999.

On note u0 la population en 1975 et un celle de l’année 1975 + n ; on aura alors :

0

1

32 168

1,006 pour tout ent iern n

u

u u n

 



Ainsi, u8 représente la population dans l’arrondissement de Die en 1983 (1975 + 8 = 1983).

a. Compléter le tableau figurant en annexe 2 à l’aide de la calculatrice.

b. En déduire une estimation de la population en 1976, puis en 1983.

c. Ecrire un en fonction de n et reconnaître le type de croissance décrit par cette suite.

d. Estimer la population que l’on aurait dû trouver au recensement de 1999 (en fait, au recensement de 1999, la population était de 37 733).

3. La question 3 concerne la ligne relative à l’arrondissement de Valence.

a. Compléter le tableau préparé sur tableur et fourni en annexe 3, relatif à la population de l’arrondissement de Valence en 1982 et 1990.

b. Donner des formules, utilisables dans un tableur, permettant de calculer les cellules D3 et E3.

c. Expliquer pourquoi la plus forte progression en nombre d’habitants ne correspond pas à la plus forte progression en pourcentage.

7. Asie juin 2002

L’objectif de cet exercice est de comparer l’évolution des économies de deux personnes au cours d’une année.

* Pierre possède 500 euros d’économies le 1er janvier. Il décide d’ajouter 27 euros le 27 de chaque mois.

* Sophie ne possède que 400 euros d’économies le 1er janvier, mais elle décide d’augmenter ses économies de 10% le 27 de chaque mois.

1. De combien dispose chaque personne fin janvier ? fin février ?

2. Cas de Pierre.

On note U0 la somme initiale reçue le 1er janvier, et Un la somme disponible à la fin du nième mois. La suite (Un) ainsi définie est représentée par le graphique ci–dessous.

a. Par lecture graphique, donner la nature de la suite (Un), son premier terme et sa raison.

b. Exprimer Un+1 en fonction de Un, et retrouver la nature de la suite (Un).

c. Montrer que Un = 500 + 50n. Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l’année.

d. Calculer le pourcentage d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre.

3. Cas de Sophie

On note V0 la somme initiale reçue le 1er janvier et Vn la somme disponible à la fin du nième mois. Soit (Vn) la suite ainsi définie.

a. Démontrer que la suite (Vn) est la suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme 400.

b. Montrer que Vn = 400(1,1)n. Calculer la somme dont dispose Sophie à la fin de l’année, arrondie à un euro près.

c. Calculer le pourcentage d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre.

d. La copie d’écran ci–dessous est celle d’un tableur :

A B C D E F G H I J K L M N

N

2

3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 Vn 400

Les colonnes sont repérées par des lettres A, B, C… ; les lignes sont repérées par des numéros 1, 2, 3… ; ainsi, la référence E3 repère la cellule se trouvant à l’intersection de la colonne E et de la ligne 3.

Quelle formule doit–on taper dans la cellule C4 pour y obtenir le terme correspondant de la suite (Vn) ?

On recopie cette formule vers la droite.

Quelle formule se trouve dans la cellule N4 ?

Reproduire le tableau ci–dessus et le compléter à l’aide de votre calculatrice (les résultats seront arrondis à un euro près).

4. Comparaison des deux cas

a. Tracer sur le graphique ci–dessous la représentation graphique de la suite (Vn).

b. Déterminer graphiquement le mois à la fin duquel les économies de Sophie deviennent supérieures à celles de Pierre.

0 122 4 6 8 10

400

600

800

1000

1200

8. Centres étrangers juin 2002

L’INSEE (Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques) répartit la population française de plus de 15 ans en plusieurs catégories. Parmi elle, on désignera par « actifs » la catégorie des personnes ayant effectivement un emploi et par « inactifs » la catégorie regroupant les scolaires, les étudiants, les retraités et les personnes sans emploi ou ayant un emploi à temps très réduit. Les données relatives à ces deux catégories sont répertoriées dans le tableau 1 fourni en annexe.

Partie 1 – Analyse de la journée des hommes

1. En 1987, le temps libre des hommes actifs représentait 15% d’une journée de 24 heures ou 1440 minutes. Déterminer, en minutes, cette durée.

2. Exprimer, en pourcentage de la durée d’une journée de 24 heures, le temps consacré aux tâches domestiques par les hommes inactifs en 1987.

On donnera ce pourcentage arrondi au centième.

3. A l’aide des tableaux 1 et 2 figurant en annexe, calculer le temps professionnel moyen dont disposent les hommes de plus de 15 ans en 1999 (actifs et inactifs). On donnera le résultat arrondi à la minute.

Partie 2 – Evolution de la durée quotidienne de temps libre des femmes françaises actives

1. Déterminer, en pourcentage, la variation de temps libre dont disposent les femmes actives entre 1987 et 1999. On arrondira le résultat au dixième.

2. D’après une autre étude, on peut faire l’hypothèse que le temps libre des femmes actives a augmenté de 2% tous les 3 ans sur la période 1987–1999.

Pour tout entier  0n , on appelle tn le temps libre dont disposent les femmes actives en 1987 + 3 x n (exprimé en minutes) (on arrondira tous les résultats à la minute).

a. Vérifier que l’on trouve un temps libre t1 des femmes actives en 1990 de 172 minutes. Déterminer le temps libre t2 des femmes actives en 1993.

b. Quel terme de la suite correspond au temps libre dont dispose les femmes actives en 1999 ? Quelle est la durée en minutes de ce temps libre ?

c. Exprimer tn+1 en fonction de tn. En déduire la nature de la suite (tn).

d. Exprimer tn en fonction de t0.

e. On suppose que cette tendance (augmentation de 2% tous les 3 ans) se poursuit au moins jusqu’en 2014. Calculer le temps libre quotidien dont disposeraient les femmes actives en 2014.

ANNEXE

Tableau 1

Découpage de la journée moyenne des Français en 1987 et en 1999.

Champ : Personnes de 15 ans et plus en France métropolitaine. D’après l’enquête « emploi du temps 1998–1999 », INSEE.

Définitions : les temps sont exprimés en minutes.

Temps physiologique : sommeil, toilette, repas, ….

Temps professionnel : profession, trajets liés au travail, études, …

Temps domestique : ménage, cuisine, courses, linge, soins aux enfants, …

Temps libre : pratiques sportives, culturelles ou ludiques, bricolage, jardinage, …

Hommes Femmes

Actif occupé Inactif Actif occupé Inactif

1987 1999 1987 1999 1987 1999 1987 1999

Temps physiologique 683 682 772 760 693 695 762 757

Temps professionnel* 394 382 115 92 313 301 59 59

Temps domestique 112 119 165 175 229 227 317 288

Temps libre 224 339 375 169 183 264 301

Autre 33 49 38 36 34 38 35

Total 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h

*La prise en compte des samedis et dimanches pour le calcul de ces moyennes explique ces temps professionnels journaliers relativement faibles.

Tableau 2

Répartition de la population française de plus de 15 ans selon le sexe et l’activité :

Actifs occupés Inactifs

Hommes 14 369 489 8 701 877

Femmes 12 172 992 12 826 991

Source : Recensement de la population 1999.

9. Pondichery, juin 2001

Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.

Option A : Une augmentation fixe du salaire mensuel de 500 F au 1er janvier de chaque année.

Option B : Une augmentation de 5% du salaire mensuel de l’année précédente au 1er janvier de chaque année.

Dans les options A et B, l’augmentation n’a lieu qu’au 1er janvier et les salaires restent fixes les autres mois de l’année.

En 2000, Marcel et Claudine gagnent mensuellement 7000 F chacun. Marcel choisit l’option A et Claudine l’option B.

1. Calculer les salaires mensuels de Marcel et de Claudine en 2001, puis en 2002.

2. On note U0 le salaire mensuel de Marcel en 2000 et Un le salaire mensuel de Marcel n années après 2000.

a. Quelle est la nature de la suite (Un) ?

b. Exprimer Un en fonction de n.

c. Calculer U19. Interprétez ce résultat.

d. A partir de quelle année le salaire mensuel de Marcel sera–t–il d’au moins 12 000 F ?

3. On note V0 le salaire mensuel de Claudine en 2000 et Vn le salaire mensuel de Claudine n années après 2000. a. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ?

b. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn. En déduire la nature de la suite (Vn).

c. Exprimer Vn en fonction de n.

d. En déduire le salaire mensuel de Claudine en 2019.

4. Marcel et Claudine prendront leur retraite en 2019. Lequel des deux partira avec le meilleur salaire ?

5. Le graphique ci–dessous reflète l’évolution des salaires mensuels de Marcel et Claudine. Vous utiliserez ce graphique pour répondre aux questions suivantes.

a. Quelle est la courbe représentant l’évolution des salaires mensuels de Marcel ? Justifier.

b. A partir de quelle année Claudine gagnera–t–elle au moins 12 000 F ?

c. A partir de quelle année le salaire mensuel de Claudine dépassera–t–il celui de Marcel ?

10. P ondichery, juin 2002

Un journal, vendu exclusivement sur abonnement, possède 25 000 abonnés au début de l’année 2000. Le service des abonnements estime que, d’une année sur l’autre, d’une part, 80% des lecteurs renouvellent leur abonnement et, d’autre part, qu’il y aura 20 000 nouveaux abonnés.

On note 0 l’année de référence 2000. Les années suivantes sont notées 1, 2, …

1. Dans le tableau ci–dessous :

a. Vérifier que le nombre estimé d’abonnés en 2001 sera de 40 000.

b. Compléter la ligne 2 du tableau, donnant le nombre d’abonnés.

A B C D E F G

1 Année n 0 1 2 3 4 5

2 Abonnés Un 25 000 40 000

3 Vn 75 000

4 Vn/Vn–1

Les colonnes sont repérées par les lettres : A, B, C, … ; les lignes sont repérées par des nombres : 1, 2, 3… Ainsi, la référence B3 repère la cellule se trouvant à l’intersection de la colonne B et de la ligne 3.

0 202 4 6 8 10 12 1614 18

6000

20 000

8 000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000 courbe A

courbe B

S a

la ir

e e

n f

ra n

c s

Rang de l’année

c) Si l’on utilisait ce tableur pour compléter le tableau précédent, quelle formule devrait–on écrire dans la cellule C2 et recopier vers la droite jusque en G2 ?

2. On note Un le nombre estimé d’abonnés durant l’année n.

a. Exprimer Un+1 en fonction de Un.

b. Cette suite (Un) est–elle arithmétique ? Justifier la réponse.

c. Cette suite (Un) est–elle géométrique ? Justifier la réponse.

3. Le directeur souhaite 100 000 abonnés pour rentabiliser son entreprise. Il calcule alors, pour chaque année à venir la différence Vn entre son objectif, 100 000, et le nombre estimé Un d’abonnés.

On a donc Vn = 100 000 – Un.

a. Calculer V0.

b. Dans la cellule B3, quelle formule doit–on écrire, puis recopier vers la droite dans le tableau de la question 1, pour compléter la ligne 3 ?

c. Compléter la ligne 3 du tableau de la question 1.

4. Dans cette question, on étudie la nature de la suite (Vn).

a. Compléter la ligne 4 du tableau de la question 1.

b. Que peut–on conjecturer pour la suite (Vn) ?

c. En admettant que cette conjecture soit vérifiée, montrer que Vn = 75 000  0,8n.

5. a. En déduire Un en fonction de n.

b. Combien d’abonnés peut–on estimer en 2010 ?

11. Exercice 19

Le tableau suivant indique l'évolution de la population d'un pays au cours d'un siècle.

Année 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Population Pn en millions d’habitants

5,7 9,6 17 31 50 76

1. Calculer le coefficient multiplicateur qui permet d'obtenir la population en 1920 à partir de celle de 1900. En déduire l'augmentation en pourcentage de cette population.

Cette variation en pourcentage est appelée augmentation relative de la population au cours de cette période de 20 années.

2. Calculer de même les augmentations relatives au cours de chacune des périodes de 20 ans qui suivent.

3. Calculer la moyenne arithmétique m de ces augmentations relatives trouvées à la question précédente. En déduire le coefficient multiplicateur moyen qui ferait passer cette population de 5,7 millions à environ 76 millions en l'appliquant à chaque période de 20 ans jusqu'en 2000. On arrondira ce coefficient en donnant 2 chiffres après la virgule.

4. Vérifier que 1,02620 est voisin du résultat trouvé à la question précédente.

5. On décide de modéliser cette évolution de la population de ce pays à l'aide d'une suite géométrique. Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 5,7 et de raison q = 1,026.

a. Calculer u20 , u40, u60 , u100

b. Représenter sur le même graphique la suite un et l'évolution de la population au cours du siècle présentée dans le tableau. On placera les populations sur l'axe des ordonnées.

6. Si on pense qu'au cours des prochaines années, l'évolution de la population va se poursuivre au même rythme et que la suite (un) est un modèle satisfaisant pour la représenter, quelle population peut on prévoir en 2005 dans ce pays ?

12. Exercice 20

En vue d’une exploitation médicale, des chercheurs étudient la croissance de 2 plantes, le Linéa et l’Exposa.

Voici résumés ci-dessous les premiers relevés effectués, en centimètres.

A B C D

1 Linéa Exposa

2 Hauteur initiale 20 20

3 Semaine 1 25 23

4 Semaine 2 30 26,5

5 Semaine 3 35 30,4

6 Semaine 4 40 35

7 Semaine 5

8

Les chercheurs se proposent de prévoir les hauteurs des 2 plantes pour les semaines suivantes, à partir des relevé des premières semaines. Ils décident d’appeler un la hauteur de Linéa au bout de n semaines et vn celle d’Exposa au bout de n semaines (u0 = v0 = 20 est la hauteur initiale des 2 plantes).

Partie A : étude de Linéa

a. Donner u0, u1, u2 et u3.

b. Donner alors la nature de la suite (un). Justifier votre réponse.

c. Calculer la hauteur de Linéa au bout de 5 semaines puis 20 semaines.

d. Quelle formule les chercheurs doivent-ils entrer dans la cellule B7 afin de prévoir la taille de Linéa dans les semaines à venir ?

Partie B : étude d’Exposa

a. Donner v0, v1, v2 et v3.

b. Pour déterminer la nature de la suite (vn), les chercheurs écrivent dans la cellule D3 du tableur la formule = C3/C2 et la recopient vers le bas.

A l’aide de la calculatrice, remplir la colonne D alors obtenue (on arrondira les valeurs à 2 chiffres après la virgule).

c. Que suggèrent ces résultats quant à la nature de la suite (vn) ? Justifier la réponse.

d. On admet que (vn)n est une suite géométrique de raison 1,15. Calculer la hauteur de Linéa au bout de 5 semaines puis 20 semaines (arrondir à l’unité la plus proche).

e. Quelle formule les chercheurs doivent-ils entrer dans la cellule C7 afin de prévoir la taille d’Exposa dans les semaines à venir ?

Partie C : comparaison des 2 plantes

Pour les 12 premières semaines, on obtient les résultats suivants :

Semaine (n) Linéa (un)

Exposa (vn)

Semaine 0

Hauteur initiale

20 20

Semaine 1 25 23

Semaine 2 30 26,5

Semaine 3 35 30,4

Semaine 4 40 35

Semaine 5 45 40

Semaine 6 50 46,3

Semaine 7 55 53,2

Semaine 8 60 61,2

Semaine 9 65 70,4

Semaine 10 70 80,9

Semaine 11 75 93

Semaine 12 80 107

a. Comparer les croissances des 2 plantes.

b. La plante doit atteindre une taille minimum de 1 mètre avant d’être exploitée par l’industrie pharmaceu-tique. Quelle plante paraît la plus intéressante pour être utilisée dans le laboratoire pharmaceutique ? Pourquoi ?

c. Quel délai faut-il prévoir avant de commencer la fabrication du médicament ?

13. Exercice 21

(Les parties A et B sont indépendantes)

En 1990, la famille Pélimpo paye 1 500 € d’impôts sur le revenu.

A. Période de crise

L’impôt sur le revenu augmente de 2,5% par an. Soit u0 = 1 500 l’impôt sur le revenu de l’année 1990 et un celui de l’année 1990 + n.

1. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à l’augmentation de l’impôt ?

2. Calculer u1. Que représente ce nombre ?

3. Quelle est la nature de la suite (un) ?

4. Exprimer un en fonction de n et de u0.

5. Calculer u9.

6. On a commencé ci-contre à déterminer les valeurs de un avec un tableur.

Vous trouverez en colonne A l’année, en colonne B l’entier n correspondant à l’année et en colonne C la valeur de un correspondante.

a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B3 du tableau avant de la recopier vers le bas ?

b. Après avoir mis u0 dans C2, quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 du tableau, avant de la recopier vers le bas, pour obtenir les termes un ?

c. Compléter la colonne C du tableau. (La ligne 7 n’est pas à remplir).

A B C

1 année valeur de n un

correspondant

2 1990 0

3 1991 1

4 1992 2

5 1993 3

6 1994 4 1656

7 … … …

En réalité, pour l’année 1999, les revenus de la famille Pélimpo ont progressé et l’impôt sur le revenu vaut finalement 2 030 €.

B. Période de prospérité

Les fruits de la croissance sont redistribués sous forme de réduction d’impôt de 100 € par ménage et par an à partir de 2000. Soit v0 = 2 030 l’impôt sur le revenu de l’année 1999 et vn celui de l’année 1999 + n.

1. Déterminer l’impôt sur le revenu de l’année 2000.

2. Quelle est la nature de la suite (vn)n ?

3. Exprimer vn en fonction de n et de v0.

4. Déterminer en quelle année l’impôt sur le revenu de la famille Pélimpo passera en dessous de sa valeur de 1990.

5. On a fait un second tableau pour cette période de prospérité. Comme pour le précédent, on trouvera en colonne A l’année, en colonne B l’entier n correspondant à l’année et en colonne C la valeur de vn correspondante.

a. Après avoir mis v0 dans C2, quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 du tableau, avant de la recopier vers le bas, pour obtenir les termes vn ?

b. Compléter la colonne C du tableau (la ligne 7 n’est pas à remplir).

A B C

1 année valeur de n vn

correspondant

2 1999 0

3 2000 1

4 2001 2

5 2002 3

6 2003 4 1630

7 … … …

14. Exercice 22

Dans un gratte-ciel de 100 étages, il y a dans l’escalier de secours 18 marches par étage.

Julien est au sommet et Denis au bas de l’escalier. Ils décident par téléphone de se rejoindre en partant au même instant. Denis monte 2 marches par seconde et Julien en descend 4 dans le même temps.

On note u0, u1, u2 ..., un le nombre de marches qui séparent Julien du bas de l’escalier, au départ puis au bout d’une seconde, de 2 secondes…, de n secondes.

On note v0, v1, v2 ..., vn le nombre de marches qui séparent Denis du bas de l’escalier, au départ puis au bout d’une seconde, de 2 secondes…, de n secondes.

Ainsi, u0 = 1800 et v0 = 0.

1. Calculer u1, u2, v1 et v2.

2. Quelle est la nature des suites (un) et (vn) ?

3. Exprimer un et vn en fonction de n.

4. Calculer à quel instant Julien et Denis vont se rencontrer.

5. En déduire le nombre de marches parcourues par chacun et l’étage où ils se retrouvent.

15. Pondichéry avril 2003

Les parties A et B sont indépendantes.

En décembre 2002, Jean possède sur son compte bancaire la somme de 5 000 euros.

Partie A

À partir de janvier 2003, chaque début de mois, Jean reçoit sur ce compte 1 800 euros. On note u0 la somme, en euros, en décembre 2002 ; ainsi u0 = 5000. On appelle un la somme disponible en euros sur ce compte n mois après décembre 2002.

1. Calculer u1, la somme disponible en janvier 2003 et u2, la somme disponible en février 2003.

2. Préciser la nature de la suite (un), ainsi que sa raison.

3. On veut calculer les montants successifs de ce compte à l’aide d’un tableur.

Quelle formule écrire en B3 pour obtenir, en la « recopiant vers le bas », les termes de la suite (un) dans la colonne B ?

4. Exprimer (un) en fonction de n.

5. Calculer la somme disponible en décembre 2004.

A B

1 rang dumois nun

2 0 5000

3 1

4 2

5 3

6 4

Partie B

On suppose maintenant que chaque mois, Jean dépense 60% de la somme disponible sur son compte. A chaque début de mois, il lui reste donc 40% de la somme disponible en début du mois, précédent, auxquels on ajoute la somme habituelle de 1 800 euros.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome