Travaux pratiques de mathématique 9 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires
Eusebe_S
Eusebe_S15 May 2014

Travaux pratiques de mathématique 9 - 2° partie, Exercices de Mathématiques primaires

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Travaux pratiques de mathématique sur les suites numériques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, La croissance de la population terrestre, Annexe à l’exercice.
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On note v0 la somme, en euros, en décembre 2002 ; ainsi v0 = 5000. On appelle vn la somme disponible, en euros, sur ce compte n mois après décembre 2002. D’après ce qui précède, dans la suite de l’exercice, on admettra que, pour tout n : vn+1 = 0,4vn +1800.

1. Calculer v1, v2 et v3.

2. La suite (vn) est-elle géométrique ? Justifier votre réponse.

3. Pour calculer la somme disponible en décembre 2004, on cherche à déterminer vn en fonction de n. Pour cela, on introduit une nouvelle suite (wn), définie pour tout n, par wn = vn − 3000.

A B C D

1 rang du mois nun vn wn

2 0 5000 5000 2000

3 800

4 320

5 128

6 51,20

a. Quelles formules écrire en C3 et en D2 pour obtenir, en les « recopiant vers le bas », les termes des suites (vn) et (wn) ?

b. On admet que (wn) est une suite géométrique de raison 0,4. Exprimer wn en fonction de n.

c. En déduire que vn = 800 n + 3000.

d. Calculer la somme, arrondie à 10−2 près, disponible en décembre 2004.

16. Amérique du Nord, juin 2003

La croissance de la population terrestre

« Avant d’inventer le concept de taux de croissance, il a fallu se familiariser avec la série géométrique. . . »

La premier calcul de croissance démographique connu est dû à W. Petty et date de 1680. Petty calcule ici la croissance de la population depuis la sortie de l’arche de Noé. Il raisonne non pas à l’aide de taux de croissance, mais à partir de périodes de doublement de la population. Voici un tableau et une représentation graphique établis d’après ses résultats. (n désigne le nombre d’années écoulées depuis la sortie de l’arche de Noé, po la population en nombre de personnes et pe la période de doublement de la population en années).

Le début de l’ère chrétienne correspond à 2 700 années écoulées.

n po pe n po pe

0 8 170 65 536 30

10 16 10 200 131 072 30

20 32 10 240 262 144 40

30 64 10 290 524 288 50

40 128 10 350 1 048 576 60

50 256 10 420 2 097 152 70

60 512 10 520 4 194 304 100

70 1 024 10 710 8 388 608 190

80 2 048 10 1 000 16 777 216 290

90 4 096 10 1 400 33 554 432 400

100 8 192 10 1 950 67 108 864 550

120 16 384

20 2 700 134 217 728 750

140 32 768

20 3 700 268 435 456 1 000

4 900 536 870 912 1 200

1. Pour chacune des périodes suivantes, préciser si la croissance est exponentielle ou non et justifier. Dans le cas d’une croissance exponentielle, décrire cette croissance en utilisant un taux de croissance.

a. De 0 à 100 années après la sortie de l’arche.

b. De 420 à 3 700 années après la sortie de l’arche.

c. De 0 à 140 années après la sortie de l’arche.

2. L’auteur propose des valeurs intermédiaires sur la période 3 700 – 4 900. Pour obtenir ces valeurs intermédiaires, il fait une interpolation linéaire.

a. Vérifier que les valeurs proposées pour la population en 3 700, 4 000 et 4 300 correspondent bien à une croissance linéaire. Préciser les calculs nécessaires.

b. Avec la même hypothèse de croissance linéaire sur cette période, calculer la valeur manquante (population en 4 600). Détailler le calcul.

n po

3 700 268 436 456

4 000 335 544 320

4 300 402 653 184

4 600

4 900 536 870 912

3. Quel est le taux d’évolution de la population sur la période 3 700 − 4 900. Justifier.

4. Si Petty avait raisonné en termes de croissance exponentielle sur la période 3 700 − 4 900, il aurait pu calculer le taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 300 à partir du taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 900, en calculant un « taux moyen d’évolution ».

a. Calculer le taux d’évolution sur la demi-période (entre 3 700 et 4 300 ou entre 4 600 et 4 900). Justifier. Donner le résultat sous deux formes: la valeur exacte puis un arrondi, sous forme de pourcentage, avec deux chiffres après la virgule.

b. En déduire la population en 4 300. Détailler le calcul. Arrondir ce résultat comme les autres valeurs du tableau.

n po

3 700 268 436 456

4 000 319 225 354

4 300

4 600 451 452 825

4 900 536 870 912

5. Associer, à chaque type de croissance, la courbe correspondante du graphique ci-dessous.

17. Amérique du Sud nov. 2003

Les deux parties sont indépendantes.

Pierre achète sa première voiture et se préoccupe de l’assurer. Il a entendu dire que s’il n’est responsable d’aucun sinistre, sa prime d’assurance diminuera chaque année.

Il sait aussi que le pourcentage maximal de réduction est limité à 50% (on dit que le bonus maximal est de 50%). En conséquence, la prime réduite ne peut être inférieure à la moitié de la prime « plein tarif ».

Partie A

Dans un premier temps, Pierre « imagine » qu’à partir d’une prime initiale de 450 €, sa prime pourrait diminuer de 20 € chaque année. Il se sait conducteur prudent et suppose donc qu’il ne sera responsable d’aucun sinistre.

1. On note un le montant, en euros, de sa prime d’assurance après n années sans sinistre.

Ainsi u0 = 450, u1 = 430. Calculer u2 et u3.

2. Combien d’années, Pierre doit-il attendre, pour atteindre le bonus maximal, c’est-à-dire pour que sa prime d’assurance soit égale à la moitié de sa prime initiale ?

Partie B

Pierre trouve qu’il doit attendre bien longtemps, et pense qu’il se trompe dans sonmode de calcul. Il s’adresse alors à un assureur qui lui explique, qu’en réalité, s’il n’est responsable d’aucun sinistre, sa prime d’assurance diminuera de 5% chaque année (on dira que le bonus annuel est de 5%).

Dans les questions 1. et 2. qui suivent, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au centime d’euro. On note vn le montant, en euros, de sa prime d’assurance après nannées sans sinistre. Ainsi v0 = 450.

1. Calculer v1, v2, v3.

2. La copie d’écran ci-après est celle d’un tableur :

0 A B C D E F

1

2 n 0 1 2 3

3 vn 450

4 vnvn−1

a. Dans les cellules D3 et D4, quelles formules doit-on saisir pour les recopier vers la droite, afin de remplir ce tableau ?

b. Remplir le tableau à l’aide de votre calculatrice.

c. Interpréter le contenu de la cellule F4.

3. Combien d’années Pierre doit-il attendre pour atteindre le bonus maximal ? Préciser la méthode de calcul choisie.

18. Nouvelle Calédonie, nov. 2003

Dans un grand magasin, Damien est chargé d’une étude sur les ventes et les prix d’une eau minérale nommée BONO.

Partie 1

Damien a comptabilisé le nombre de bouteilles de BONO vendues lors des 5 premiers mois de l’année 2003. En utilisant un tableur il a ensuite cherché la part que représentent les ventes de BONO sur l’ensemble des eau minérales vendues.

Sur le tableau 1 de l’annexe, à rendre avec la copie, certains résultats ont été effacés.

1. Retrouver les valeurs numériques des cellules C4 et D3 et les faite figurer dans le tableau 1.

2. On donne les informations suivantes :

- En avril, un cinquième des bouteilles d’eau vendues était des bouteilles de BONO,

- En mai les ventes d’eaux minérales ont augmenté de 8,6 % par rapport au mois précédent.

Compléter alors par les valeurs numériques manquantes les colonnes E et F du tableau 1.

3. Quelle formule peut-on écrire dans la cellule G2 pour obtenir le résultat affiché ?

Comment peut-on obtenir le résultat de la cellule G3 ?

4. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 avant recopie automatique vers la droite pour obtenir les valeurs numériques des cellules de la ligne 4 ?

Partie 2

Damien doit s’intéresser maintenant aux prix de vente des bouteilles de BONO. Les bouteilles sont conditionnées par lots de 6 et peuvent aussi se vendre à l’unité.

Au mois de mars, il a noté que la bouteille coûtait 0,35 euro et que le lot de 6 bouteilles était en promotion et coûtait 1,75 euro.

En mars, plusieurs clients ont acheté des lots de 6 bouteilles et une bouteille séparée.

On désigne par n le nombre de lots achetés et par Pn le prix correspondant aux 6n+1 bouteilles achetées.

1. a. Justifier que Pn = 1,75n +0,35.

b. Quelle est la nature de la suite (Pn) ?

c. Compléter le tableau 2 de l’annexe.

d. Que peut-on constater pour l’évolution du prix unitaire moyen ?

2. L’un de ces clients a acheté de l’eau minérale BONO pour un montant de 16,10 euros. Combien a-t-il acheté de bouteilles ?

Annexe à l’exercice 1 : à compléter et à rendre avec la copie

Tableau 1

A B C D E F G

1 janvier février mars avril mai de janvier à mai

2 Nombre de bouteilles BONO

vendues 6772 6840 7045 7256 7619 35532

3 Nombre total de bouteilles

d’eau minérale vendues 33864 31091

4 Pourcentage de bouteilles de BONO vendues (à 0,1 % près)

20,0 21,3

Tableau 2

Nombre de lots n 1 2 3 4 5

Nombre de bouteilles 6n +1

Prix correspondant : Pn

Prix unitaire moyen (à 0,001 près)

19. Polynésie sept. 2003

La technique de « datation par le Carbone 14 » permet, en mesurant la radioactivité naturelle de certains échantillons, d’en donner l’âge. Par exemple, les peintures des grottes de Lascaux en France ont pu être datées à 13 500 ans avant Jésus Christ.

Cette technique repose sur deux principes :

Tout organisme présente, de son vivant, la même radioactivité que le gaz carbonique atmosphérique.Nous l’appellerons radioactivité normale.On suppose cette radioactivité constante.

À sa mort, sa radioactivité est divisée par 2 tous les 6 000 ans environ. Cette durée de 6000 ans est appelée une demi-vie.

Partie A

La radioactivité d’un échantillon sera exprimée en pourcentage de la radioactivité normale. On définit ainsi le taux de radioactivité de cet échantillon. Par exemple un morceau de bois fraîchement coupé a un taux de radioactivité de 100%. Ce même morceau de bois, 6 000 ans après, aura un taux de radioactivité de 50%.

Nous utilisons une feuille de calcul d’un tableur pour obtenir d’autres taux :

A B C D E F G H I J

1 Âge de l’échantillon

(en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 Âge de l’échantillon

(en années) 0 6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000 48000

3 Taux de radioactivité

(en %) 100

1. Compléter le tableau sur la feuille annexe. Les résultats seront arrondis au dixième.

2. En déduire une formule de calcul qui pourrait être saisie dans la cellule C3. Cette formule devra pouvoir être recopiée vers la droite jusqu’à la cellule J3.

3. Sur une feuille de papier millimétré, représenter la suite des taux de radioactivité en fonction de l’âge de l’échantillon en années. On prendra comme unités : 1 cm pour 2 000 ans en abscisse et 1 cm pour 10% en ordonnée.

4. À l’aide de la courbe constituée des segments de droite joignant les points successifs, déterminer graphiquement, à 1 000 ans près, l’âge d’un site archéologique, sachant que le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de ce site est de 20%.

Partie B

Dans cette partie, nous nous intéressons plus particulièrement à la datation d’échantillons qui ont au plus 200 ans et qui peuvent être datés par la technique de datation du carbone 14. Pendant 200 ans, la radioactivité va décroître de 2,3%.

Pour simplifier les calculs, nous considérons que nous sommes en l’an 2000.

1. Calculer le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de l’an 1800.

2. Quel taux de radioactivité devrait contenir un échantillon représentatif d’un tableau impressionniste réalisé en 1870 ?

Pour ce calcul, on utilisera une interpolation linéaire entre les années 1800 et 2000 ; on pourra s’aider du tableau suivant.

Années 1800 1870 2000

Taux de radioactivité

3. On situe la « période impressionniste » du peintre Jean Renoir entre 1870 et 1880 ; il meurt en 1919. Lors d’une expertise, un tableau impressionniste attribué à Jean Renoir a été analysé avec un taux de

radioactivité de 99,3% en l’an 2000, grâce au prélèvement d’un échantillon de peinture qui a pu être daté par la technique de datation du carbone 14.

Retrouver l’année de création du tableau et commenter le résultat.

Annexe à rendre avec la copie

Exercice 2

A B C D E F G H I J

1 Âge de l’échantillon

(en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2

Âge de l’échantillon

(en années)

0 6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000 48000

3 Taux de radioactivité

(en %) 100

20. Antilles, juin 2004, 12 points (c)

Trois amis Bertrand, Claire et Dominique débutent dans trois entreprises différentes. Au premier janvier de l’année 2000, Bertrand et Claire débutaient avec un salaire mensuel de 1 500 €, tandis que Dominique commençait avec un salaire mensuel de 1 400 €.

Ils se proposent de comparer l’évolution de leurs salaires mensuels. On a donné en annexe 2, à rendre avec la copie, un tableau obtenu à l’aide d’un tableur. Une fois que tous les calculs auront été effectués, les résultats seront arrondis à 102.

Partie A - Évolution du salaire mensuel de Bertrand

À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de Bertrand augmente de 2,5%. On note bn le salaire mensuel de Bertrand au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc b0 = 1 500.

1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les différentes années ?

2. Calculer le salaire mensuel de Bertrand en 2001 puis en 2002.

3. Quel est le coefficient multiplicatif correspondant à cette augmentation de 2,5 % par an ?

4. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Bertrand jusqu’en 2008 ?

5. Montrer que, pour tout entier naturel n, bn = 1500×(1,025)n.

6. a. Compléter la colonne C du tableau de l’annexe 2, jusqu’en 2008.

b. En supposant que le salaire mensuel de Bertrand évolue de la même façon après 2008, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel dépassera 2 000 €. Justifier.

Partie B - Évolution du salaire mensuel de Claire

À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année le salaire mensuel de Claire augmente de 40 €.

On note cn le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc c0 = 1500.

1. Calculer le salaire mensuel de Claire en 2001 puis en 2002.

2. Exprimer cn+1 en fonction de cn. Que peut-on en déduire pour la suite (cn) ? Justifier.

3. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Claire jusqu’en 2008 ?

4. En complétant la colonne D du tableau de l’annexe 2 déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.

Partie C - Évolution du salaire mensuel de Dominique

On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc d0 = 1400.

On note un = dn +1000. On admet que la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,02.

1. a. Montrer que un = 2400×(1,02)n.

b. Exprimer dn en fonction de n.

c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule E3 du tableau de l’annexe 2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, le salaire de Dominique jusqu’en 2008 ?

d. Complèter la colonne E du tableau de l’annexe 2 jusqu’en 2008.

2. On suppose que jusqu’en 2015, chacun des salaires des trois amis continuera d’évoluer comme avant 2008. À partir de quelle année le salaire de Dominique sera-t-il le plus élevé des trois ?

Annexe 2 à rendre avec la copie

A B C D E

1 Année n Salaire de Bertrand

bn

Salaire de Claire

cn

Salaire de Dominique

dn

2 2000 0 1500 1500 1400

3 2001 1

4 2002 2

5 2003 3

6 2004 4

7 2005 5

8 2006 6

9 2007 7

10 2008 8 1827,60 1811,98

11

12

13

14

Correction

Partie A - Évolution du salaire mensuel de Bertrand

b0 = 1 500.

1. Il faut ajouter 1 à A2, soit « =A2+1 ». A la copie A2 sera modifié en A3, A4, etc.

2. 1500 1,025 1537,5  en 2001, 1537,5 1,025 1575,94  .

3. 2, 5

1 1,025 100   .

4. Il faut multiplier le contenu de C2 par 2, 5

1 1,025 100   , on met donc « =C2*1,025 ». A la copie C2 sera

modifié en C3, C4, etc.

5. La suite bn est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme 1500, on a donc (cours) bn = 1500×(1,025) n.

6. a. Voir ci-dessous.

b. Lorsqu’on continue le calcul on dépasse 2000 quand n = 12, soit en 2012.

Partie B - Évolution du salaire mensuel de Claire

À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année le salaire mensuel de Claire augmente de 40 €.

On note cn le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc c0 = 1500.

1. En 2001 elle touche 1500+40 = 1540, en 2002 ce sera 2040 + 40 = 2080.

2. cn+1 = cn + 40. La suite (cn) est une suite arithmétique puisqu’on rajoute une constante (40) à chaque étape.

3. « =D2+40 ».

4. En 2007 le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.

Partie C - Évolution du salaire mensuel de Dominique

On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc d0 = 1400.

On note un = dn +1000. On admet que la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,02.

1. a. C’est du cours : 0 n

nu u q  ; comme un = dn +1000, u0 = d0 +1000=2400, soit un = 2400×(1,02) n.

b. Si un = dn +1000, on a dn = un − 1000 donc  2400 1,02 1000 n

nd    .

c. « = 2400*(1,02^B3)−1000 ».

d. Voir ci-dessous.

2. Le salaire de Dominique sera le plus élevé des trois à partir de 2010.

A B C D E

1 Année n Salaire de Bertrand

bn

Salaire de Claire

cn

Salaire de Dominique

dn

2 2000 0 1500 1500 1400

3 2001 1 1537,50 1540 1448,00

4 2002 2 1575,94 1580 1496,96

5 2003 3 1615,34 1620 1546,90

6 2004 4 1655,72 1660 1597,84

7 2005 5 1697,11 1700 1649,79

8 2006 6 1739,54 1740 1702,79

9 2007 7 1783,03 1780 1756,85

10 2008 8 1827,60 1820 1811,98

11 2009 9 1873,29 1860 1868,22

12 2010 10 1920,13 1900 1925,59

13 2011 11 1968,13 1940 1984,10

14 2012 12 2017,33 1980 2043,78

21. Centres étrangers juin 2004, 10 points

Un industriel a acheté chez un fabricant, en 1999, une machine M neuve pour un prix de 45000 €.

1. On appelle valeur de reprise le prix de rachat par le fabricant de la machine M usagée pour l’achat d’une nouvelle machine M neuve. Cette valeur de reprise diminue chaque année de 20% de la valeur qu’elle avait l’année précédente.

On note Rn cette valeur de reprise, exprimée en euro, n années après l’achat de la machine neuve. On admet que, lorsque la machine vient d’être achetée, sa valeur de reprise est égale au prix d’achat.

Ainsi, R0 = 45 000.

a. Vérifier que R1 = 36 000.

b. Donner l’expression de Rn+1 en fonction de Rn.

c. En déduire la nature de la suite (Rn), puis exprimer Rn en fonction de n.

2. Chez le fabricant, le prix de vente de la machine M neuve, exprimé en euro, augmente de 1 000 € chaque année. On note Pn ce prix l’année 1999+n. P0 étant égal à 45 000, exprimer Pn+1 en fonction de Pn, puis Pn en fonction de n.

3. Cinq ans se sont écoulés.On suppose que l’industriel projette d’acheter à nouveau une machine M neuve, identique à celle achetée en 1999, tout en revendant cette dernière au fabricant. Ces transactions s’effectuant dans les conditions des questions 1. et 2., quelle somme, en euro, l’industriel doit-il débourser ?

4. On constate qu’après 10 années écoulées, l’industriel serait obligé de débourser environ 50 168 € pour acheter une machine M neuve, dans les conditions des questions 1. et 2.

a. Donner le détail des calculs aboutissant à ce résultat.

b. Quel serait alors le pourcentage d’augmentation entre la dépense en 1999 et la dépense en 2009 ?

5. On décide d’utiliser un tableur pour savoir au bout de combien d’années la somme à débourser par l’industriel pour une nouvelle machine M dépassera sa dépense de 1999, à savoir 45 000 €. Pour cela, on crée une feuille de calcul en adoptant la présentation suivante :

A B C D E

1 Années Nombre d’années écoulées

Prix de vente Valeur de reprise Somme à débourser

2 1999 0 45000 45000

3 2000 1 36000

4 2001 2

5 2002 3

6 2003 4

7 2004 5

8 2005 6

9 2006 7

10 2007 8

11 2008 9

12 2009 10 50168

a. Quelle est la formule à saisir en C3 avant de la recopier vers le bas ?

b. Quelle est la formule â saisir en D3 avant de la recopier vers le bas ?

c. Quelle est la formule à saisir en E3 avant de la recopier vers le bas ?

d. Vérifier que c’est seulement au bout de 8 années écoulées que l’industriel devra débourser plus de 45000 €.

22. France, juin 2004, 11 points (c)

PROGRAMME D’ENTRAINEMENT

Aline, Blandine et Caroline décident de reprendre l’entraînement à vélo chaque samedi pendant 15 semaines. À l’aide d’un tableur, chacune a établi son programme d’entraînement. Elles parcourent 20 km la première semaine et souhaitent effectuer ensemble une sortie la quinzième semaine.

L’annexe reproduit l’état final de la feuille de calcul utilisée. La valeur de certaines cellules a été masquée.

Partie A: Programme d’entraînement d’Aline

La distance parcourue parAline chaque semaine est représentée sur le graphique de l’annexe et certaines distances figurent dans la colonne B du tableau.

On note U(n) la distance parcourue la n-ième semaine. Ainsi U(1) = 20 et U(15) = 118.

1. En utilisant des valeurs de la colonne B et le graphique :

a. Conjecturer la nature de la suite des nombres U(n) (justifier la réponse donnée).

b. Exprimer alors U(n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.

2. Calculer la distance parcourue par Aline à la dixième semaine.

3. Quelle formule, recopiable vers la droite, a-t-elle saisie dans la cellule B23 pour calculer la distance moyenne parcourue par chacune au cours des entraînements ?

Partie B: Programme d’entraînement de Blandine

Blandine parcourt 20 km la première semaine. Elle veut augmenter chaque semaine d’un même pourcentage la distance parcourue de telle sorte que la distance parcourue à la quinzième semaine soit, à l’unité près, 118 km. Pour cela elle a testé différents pourcentages écrits dans la cellule C3.

1. Quelle formule a-t-elle saisie dans la cellule C7 puis recopiée vers le bas de C8 à C20, sachant que les résultats se sont actualisés automatiquement lorsqu’elle a modifié le pourcentage d’augmentation hebdomadaire ?

2. Les essais lui ont permis de trouver qu’une augmentation hebdomadaire de 13,5 % convient.

On note V (n) la distance parcourue par Blandine la n-ième semaine.

a. Quelle est la nature de la suite des nombres V (n) ? (Justifier la réponse donnée.)

b. Exprimer V (n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.

c. Quelle distance Blandine parcourt-elle à la dixième semaine ?

3. Calculer le pourcentage d’augmentation de la distance parcourue entre la première et la quinzième semaine.

Partie C: Programme d’entraînement de Caroline

Caroline parcourt 20 km la première semaine, Pour calculer les distances parcourues les semaines suivantes, elle a saisi dans la cellule D7 la formule :

= D6*(1+$D$3)+$D$2

et l’a recopiée vers le bas de D8 à D20.

1. La valeur figurant dans la cellule D7 a été masquée. Quelle est cette valeur ?

2. Quelle est la formule contenue par la cellule D8 ?

3. On noteW(n) la distance parcourue par Caroline la n-ième semaine. La suite des nombres W(n) est- elle arithmétique ? Est-elle géométrique? Justifier les réponses.

4. Calculer la distance moyenne parcourue par Caroline au cours de ses entraînements.

Annexe

A B C D

1 Programme d'entraînement

d'Aline Programme d'entraînement

de Blandine Programme

d'entraînement de Caroline

2 Pourcentage d'augmentation 4

3 13,50% 5,00%

4 Distance U(n) parcourue par Aline la semaine n (en km)

Distance V(n) parcourue par Blandine la semaine n (en km)

Distance W(n) parcourue par Caroline la semaine n (en km)

5

6 semaine 1 20 20,000 20,000

7 semaine 2 27 22,700 25

8 semaine 3 34 25,7645 30,250

9 semaine 4 41 29,2427075 35,7625

10 semaine 5 48 33,190 41,551

11 semaine 6 55 37,671 47,628

12 semaine 7 62 42,757 54,010

13 semaine 8 69 48,529 60,710

14 semaine 9 76 55,080 67,746

15 semaine 10 83 62,51622556 75,1328216

16 semaine 11 90 70,95591601 82,889

17 semaine 12 97 80,535 91,03393581

18 semaine 13 104 91,4071849 99,586

19 semaine 14 111 103,747 108,565

20 semaine 15 118 117,753 117,993

21

22 Distance totale

parcourue 1035 841,849 957,856

23 Distance moyenne 69 56,123 63,85709059

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

sem aine

distance en km

Correction

Partie A: Programme d’entraînement d’Aline

1. a. Il semble que l’on ajoute 7 chaque semaine, ce qui est la signature d’une suite arithmétique de premier terme U(1) = 20 et de raison r = 7. Par ailleurs le graphique montre des points alignés ce qui correspond à une croissance linéaire.

b. On a donc      1 1 20 7U n U n r r     .

2. Pour 10n  on a  10 20 7 10 90U     .

3. On fait le total des cellules B6 à B20 : « =SOMME(B6 :B20) » puis on divise par le nombre de valeurs, ici 15. On peut donc écrire dans B23 : « =SOMME(B6 :B20)/15 ».

Si on recopie cette formule en C23, on aura : « =SOMME(C6 :C20)/15 » ce qui donnera la distance moyenne parcourue par Blandine.

Partie B: Programme d’entraînement de Blandine

1. On prend le contenu de C3 (directement car exprimé en %, il s’agit en fait du nombre 0,1350) et on met « =C6*(1+$C$3) ». Lorsqu’on recopie vers le bas, par exemple en C8 on a : « =C7*(1+$C$3) » ce qui est le calcul cherché.

2. a. Comme on multiplie chaque semaine par le même nombre : q = 1+0,1350 = 1,1350, nous sommes

en présence d’une suite géométrique de premier terme  1 20V  et de raison 1,135q

b.       111 20 1,135

nnV n V q    .

c.       9910 1 20 1,135 62, 516V V q    .

3. 62, 516 20

2,126 212,6 % 20

   .

Partie C: Programme d’entraînement de Caroline

1. On a D6 = 20, D3 = 5 % = 0,05 et D2 = 4, soit  D7 20 1 0,05 4 25     .

2. Comme on a recopié vers le bas, la seule référence à D6 a changé et est devenue D7 :

« = D7*(1+$D$3)+$D$2 »

3. La suite n’est ni l’une ni l’autre : si elle était arithmétique on aurait D7−D6 = D8−D7, or D6 − D7 = 5

et D8 − D7 = 5,250 ; pour géométrique ce sont les quotients D7 25

1,25 D6 20   et

30,25D8 1,21

D7 25   qui

sont différents.

4. La distance moyenne est de 63,857 km.

Annexe

A B C D

1 Programme d'entraînement

d'Aline Programme d'entraînement

de Blandine Programme

d'entraînement de Caroline

2 Pourcentage d'augmentation 4

3 13,50% 5,00%

4 Distance U(n) parcourue par Aline la semaine n (en km)

Distance V(n) parcourue par Blandine la semaine n (en km)

Distance W(n) parcourue par Caroline la semaine n (en km)

5

6 semaine 1 20 20,000 20,000

7 semaine 2 27 22,700 25,000

8 semaine 3 34 25,765 30,250

9 semaine 4 41 29,243 35,763

10 semaine 5 48 33,190 41,551

11 semaine 6 55 37,671 47,628

12 semaine 7 62 42,757 54,010

13 semaine 8 69 48,529 60,710

14 semaine 9 76 55,080 67,746

15 semaine 10 83 62,516 75,133

16 semaine 11 90 70,956 82,889

17 semaine 12 97 80,535 91,034

18 semaine 13 104 91,407 99,586

19 semaine 14 111 103,747 108,565

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