Travaux pratiques de mathématique élémentaire 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique élémentaire 1 sur les variations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’inéquation, l’équation de la droiteMT, l’inversion de centre O.
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Antilles math elem juin 1963,.dvi

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Antilles–Guyane juin 1963

EXERCICE 1

1. Soit un repère orthonormé xOy . Étudier les variations et tracer le graphique (C ) de la fonction

y = x + 4

x2 .

2. Calculer l’aire, Sa , du trapèze curviligne compris entre la courbe (C ), son asymp- tote oblique (D) et les parallèles à Oy d’abscisses 2 et a (nombre donné posi- tif).

3. L’aire Sa a-t-elle une limite quand a tend vers +∞ ; quand a tend vers O ?

EXERCICE 2

Résoudre l’inéquation

log2 x > log8(3x −2).

(On rappelle que, si loga x représente le logarithme de base a de x et si Log x repré- sente le logarithme népérien de x, on a

loga x = Log x

Loga .

EXERCICE 2

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé xOy , on considère le cercle (ω) de centre ω(O ; a), de rayon a, et la droite (D) d’équation y = 3a (a est une longueur donnée). Soit un point M variable de la droite (D) et un point T variable de xx. On désigne par m l’abscisse deM, par t l’abscisse de T.

1. Montrer que l’équation de la droite MT est

(1) 3ax − (m t)y −3at = 0.

x

y

O

ω

M (D)

(ω) x

T′ T

(∆)

Le baccalauréat de 1963 A. P. M. E. P.

2. Montrer que la droite MT est tangente au cercle (ω) si, et seulement si,

(2) t2+2mt −3a2 = 0.

Dans toute la suite on supposera que cette relation (2) est vérifiée.

On observera que, quand M(m ; 3a) est donné, les abscisses des points, T et T′, où les tangentes issues de M coupent (xx) sont les racines de l’équation (2).

3. À chaque point T de xx, distinct de O, on associe le point M où la tangente issue de T à (ω), autre que TO, coupe (D).

Montrer géométriquement que la correspondance entre les points T et les points M est une application de la droite xx (moins le point O) sur la droite D.

Cette application est-elle biunivoque ?

Retrouver ces résultats à l’aide de l’équation (2).

4. Soit I le milieu de TT′ et soit K le point où la médiatrice de TT′ coupe Mω. Montrer que OI=−m.

Montrer que le point K appartient à la fois à la droite (∆) d’équation y =−a et au cercle (C) circonscrit au triangle MTT′.

5. Montrer que OT ·OT′ =−3a2 [on pourra utiliser l’équation (2)].

Quels sont, dans l’inversion de centre O et de puissance −3a2, les transformés du cercle (C) et de la droite (∆) ?

Métropole 2 juin 1963

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