Travaux pratiques de mathématique élémentaire 10, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 10, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 10 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative, la quantité, la trajectoire du milieu.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Métropole septembre 1963

EXERCICE 1

Étudier les variations de la fonction

y = √

x2 −4x +3, x, y réels.

Tracer la courbe représentative ; le repère est orthonormé et l’unité graphique est 3 cm. Quelle est la nature de cette courbe ?

EXERCICE 2

1. t étant un paramètre réel, exprimer la quantité

δ= sin2 t −2(1−cos t)

en fonction de sin t2 . Quels sont les nombres, appartenant au corps des réels ou au corps des complexes, dont le carré est égal à δ ?

2. Discuter et résoudre l’équation

(1) 2u2(1−cos t)−2u sin t +1= 0,

u est l’inconnue, réelle ou complexe. Préciser, suivant la valeur de sin t2 , le module et l’argument de chaque solution de (1).

3. Dans toute la suite du problème, on suppose que t appartient à l’intervalle 0 < t < 2π ; on appelle u′ celle des solutions de (1) dont l’argument est t2 .

Calculer z = u′2, carré de cette solution : on donnera sa forme normale z = x + iy (x, y réels), son module, r , son argument, θ ; établir la relation r = x + 12 .

4. Le paramètre t représente le temps et l’on considère le mouvement d’un mo- bile dont la position à l’instant de date t est le point m(x ; y), image du nombre complexe z précédent dans un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy .

Déterminer la trajectoire (T ) du mouvement ; indiquer les dates de passage

aux points de (T ) qui ont pour abscisse 1

2 ; former l’équation cartésienne de

(T ).

5. On associe les positions m et m1 relatives aux instants de dates

t (0 < t <π) et t1 (t1 = t +π)

Soient M et M1 leurs inverses dans l’inversion de pôle O et de puissance 1. Évaluer les mesures algébriques

OM sur l’axe d’angle polaire t ;

OM1 sur l’axe d’angle polaire t +π.

Calculer la distance MM1 ; trouver, quand t varie, la trajectoire du milieu I, de MM1 et la nature de son mouvement.

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