Travaux pratiques de mathématique élémentaire 11, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 11, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique élémentaire 11 sur les nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: un repère orthonormé, l’équation qui détermine A, l’ensemble des centres C.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Métropole juin 1963

EXERCICE 1

Trouver les nombres complexes z = x + iy tels que

z 2 = 7−24i.

EXERCICE 2

On donne un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy et le cercle (O) de centre O et de rayon

R.

1. On appelle (C) tout cercle ayant comme diamètre une corde PQ du cercle (O) ;

on appelle C le centre d’un tel cercle, et ρ son rayon.

Montrer que (C) est caractérisé par cette propriété : la puissance de son centre

C, par rapport au cercle (O) et −ρ2.

2. On suppose dans la suite du problème que le centre C appartient à x′Ox et

l’on pose OC =λ.

a. Former l’équation qui détermine λ quand (C) passe par un point donné,

S, de coordonnées x, y .

Montrer que le problème admet une solution unique si S appartient à

une ellipse (E), qu’on obtiendra par son équation et dont on précisera

les sommets et les foyers.

Dans quelle région, délimitée par l’ellipse, doit se trouver S pour que le

problème admette deux solutions ?

b. On se place dans le cas où le problème admet deux solutions, (C1 ) et (C2),

d’abscisses λ1 et λ2, et l’on demande que les cercles (C1) et (C2) soient

orthogonaux.

Former une équation des points S correspondants et préciser la nature

et les éléments de cet ensemble.

3. Parmi les cercles (C) dont le centre C est sur x′Ox, on se borne désormais à

ceux, en outre, qui coupent y ′Oy .

a. Préciser l’ensemble des centres C de ces cercles.

b. Soient I et J les points où (C) coupe y ′Oy U et V les symétriques de I et

J par rapport au diamètre PQ, U′ et V′, les points où IU et JV coupent

respectivement le cercle (O) ; montrer que IU et IU′ gardent un rapport

constant ; reconnaître l’ensemble des points U et V.

c. Montrer que les tangentes en U à (C) et en U′ à (O) se coupent en un

point de y ′Oy ; quelle propriété en résulte-t-il pour les cercles (C) de

cette question 3 ?

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