Travaux pratiques de mathématique élémentaire 14, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 14 sur la formule des accroissements finis à la fonction logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace rapporté à trois axes de coordonnées, le lieu ...
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Pondichery mai 1963.dvi

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Pondichéry mai 1963

EXERCICE 1

Enappliquant la formule des accroissements finis à la fonction logarithmenépérien, montrer que

1

n+1 < log(n+1)− logn <

1

n ,

n est un entier positif. En déduire que la suite dont le terme de rang n est

Un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n

tend vers +∞ lorsque n augmente indéfiniment.

EXERCICE 2

Dans l’espace rapporté à trois axes de coordonnées on considère les trois points

A(a,b,c), B(b,c,a), C(c,a,b).

Quel est le lieu du centre de gravité du triangle ABC lorsque a,b,c varient ?

EXERCICE 3

À tout point m du plan complexe, d’affixe z 6= 0, on associe le point M d’affixe

Z = 1

2

(

z + 1

z

)

.

1. Déterminer les coordonnées, X ,Y , de M en fonction de celles, x, y , de m.

2. Montrer que, lorsque m décrit un cercle de centre O et de rayon r , le point M décrit une ellipse (E), dont on déterminera les axes et les foyers.

Inversement, on se donne une ellipse (E) de la famille trouvée ; de quel cercle est-elle la transformée ?

3. Montrer que, lorsque m décrit une droite issue de O, le point M décrit une hyperbole (H), dont on déterminera les axes, les foyers et les asymptotes.

Inversement, on se donne une hyperbole (H) de la famille trouvée. De quelle droite est-elle la transformée ?

4. En combien de points se coupent une ellipse (E) et une hyperbole (H) quel- conques ?

Montrer qu’en chacun de leurs points communs elles se coupent orthogona- lement.

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