Travaux pratiques de mathématique élémentaire 15, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 15, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 15 sur les quatre nombres entiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Élément de vérification, les graphiques.
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TLAsie22juin2010.dvi

[ Baccalauréat L Enseignement de spécialité\ Asie Juin 2010

EXERCICE 1 5 points

Il s’agit de remplir la grille suivante dont chaque case blanche doit contenir exactement un chiffre (entre 0 et 9).

1. Pour y parvenir, il faut déterminer les quatre nombres entiers correspondants aux définitions ci-dessous. Chaque réponse devra être justifiée.

A B C D

1

2

3

4

Ligne 1 : Somme des 50 premiers termes de la suite arithmétique (un) de premier terme u1 = 4,37 et de raison r = 0,74.

Ligne 2 : Nombre compris entre 5700 et 7800 et congru à 0 modulo 1134.

Ligne 3 : Nombre affiché en sortie de l’algorithme ci-dessous si on le fait fonctionner pour n = 3.

Entrée a, b, i et n sont des entiers Initialisation

Donner à i la valeur 0 Donner à a la valeur 0 Donner à b la valeur 0

Traitement Tant que i < n :

donner à i la valeur i +1 ; donner à a la valeur 46+a. donner à b la valeur a+b.

Sortie Afficher b.

Ligne 4 : lim n→+∞

−3(0,5)n +500

2. Élément de vérification

On considère la fonction f définie surR par f (x)= e2070x .

(a) Calculer f ′(x), où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .

(b) Calculer f ′(0). Le nombre de la colonne C est le nombre f ′(0).

EXERCICE 2 5 points Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.

Partie I

Soit a et b deux nombres réels et f la fonction définie sur ]0; 3] par f (x)=−x2+a+b lnx. Déterminer les réels a et b sachant que la courbe représentative de la fonction f passe par le point A(1; 1) et admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Partie II

On admet que pour le nombre réel x de l’intervalle ]0; 3], on a : f (x)=−x2+2+2ln(x)

1. Rappeler la valeur de lim x→0

ln(x) et en déduire lim x→0

f (x).

2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f

(a) Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0; 3], puis vérifier que f ′(x)= 2(1−x)(1+x)

x .

Baccalauréat L spécialité

(b) En déduire le tableau des variations de la fonction f .

3. On a représenté sur l’annexe 1 la courbe C représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

(a) Le point B ( p 2; ln(2)) appartient-il à la courbe C ? Justifier.

(b) À l’aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x)= 0 dans l’intervalle ]0; 3].

(c) À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 0,01 de la plus grande de ces solutions.

EXERCICE 3 5 points

Un compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention parmi ses dossiers d’accidents de la circu- lation. 92% des dossiers entraînent des frais de réparationmatérielle et 23% des frais de dommages corporels. De plus, parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12% entraînent aussi des frais de dommages corporels. On choisit au hasard un dossier. Tous les dossiers ont la même probabilité d’être tirés. On note : M l’événement : « le dossier choisi entraîne des frais de réparationmatérielle ». C l’événement : « le dossier choisi entraîne des frais de dommages corporels ».

1. Enutilisant les notationsM etC , exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termesdeprobabilité ; les résultats seront donnés sous forme décimale.

2. (a) Montrer que la probabilité de l’événement M C est égale à 0,1104.

(b) Interpréter l’événement M C puis calculer sa probabilité.

(c) Calculer la probabilité que le dossier choisi entraîne des frais de réparationmatérielle sachant qu’il a entraîné des frais de dommages corporels.

3. Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’assureur sait que 45% des accidents sont dus à des excès de vitesse et que parmi ces dossiers avec excès de vitesse, 30% ont entraîné des dommages corporels.

On choisit au hasard un dossier. Sachant que l’accident correspondant entraîne des frais de dommages corporels, quelle est la probabilité que cet accident soit dû à un excès de vitesse ?

Donner le résultat à 10−3 près.

EXERCICE 4 5 points

En Allemagne, au mois de novembre, la population célèbre traditionnellement la fête de la Saint-Martin. Cela se traduit par des cortèges nocturnes dans les rues accompagnés de chants. Pour cette occasion, chaque écolier fabrique une lanterne. La fête de la Saint-Martin est ainsi également appelée « Fête des Lanternes ». Dans cet exercice, on va s’intéresser à la représentation des lanternes de deux écoliers : Marie et Daniel. Les dessins à compléter en annexe sont à rendre avec la copie. On laissera apparents les traits de construction.

1. La figure 1 représente la lanterne deMarie en perspective cavalière. Cette lanterne a la forme d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH ouvert sur le dessus avec un fond DCGH rigide et transparent : ses 4 faces latérales sont également transparentes et ses arêtes sont des tiges de bois rectilignes. Au centre de la face DCGH est fixée une bougie dont la longueur est égale à la moitié de l’arête [AD].

Asie 2 juin 2010

Baccalauréat L spécialité

b

C

b G

b

D

b

H

b

A b

B

b

F b

E

b

O

figure 1

On veut construire sur le dessin n°1 de l’annexe 2 la représentation en perspective centrale de cette lanterne, la face ABCD étant frontale. Les images de points A, B ,C , · · · sont désignées par les lettres minuscules a, b, c , · · ·

On a tracé la ligne d’horizon H , le point de fuite principal ω et un point de distance d1.

(a) Construire le deuxième point de distance d2.

(b) Compléter la représentation du pavé droit ABCDEFGH .

(c) Terminer cette représentation en y construisant l’image de la bougie dans cette perspective centrale.

2. Daniel a fabriqué une lanterne de forme cubique AB C D E F G H ′. De plus il a choisi de décorer uniquement les deux faces AB C D ′ et B F G C ′ en dessinant des carrés identiques dont chaque sommet est le milieu d’une arête et il n’a pas mis de bougie au fond de sa lanterne. La figure 2 de l’annexe 2 est une représentation en perspective cavalière de la lanterne de Daniel.

b

C

b G

b

D

b

H

b

A′ b

B

b

F ′ b

E

bL

b

K

b K

b J

b

I

b

F

b L

figure 2

Le dessin no 2 de l’annexe 2 est la représentation de la lanterne de Daniel en perspective centrale, l’arête [B C ′] étant dans le plan frontal. On a tracé la ligne d’horizon H .

Compléter le dessin no 2 de l’annexe 2 par une représentation des décorations de Daniel.

Asie 3 juin 2010

Baccalauréat L spécialité

Exercice 2

0

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3

C

Asie 4 juin 2010

Baccalauréat L spécialité

ANNEXE 2 (à compléter et à rendre avec la copie)

Exercice 4

dessin 1

d1 ωH

a b

cd

dessin 2

H

a

b

c

d

e f

g h

Asie 5 juin 2010

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