Travaux pratiques de mathématique élémentaire 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 2 sur les fonctions y de la variable x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système de conditions, l’unité de longueur est imposée : le centimètre.
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Athenes juin 1963.dvi

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Athènes, Espagne, Israël juin 1963

EXERCICE 1

Déterminer les fonctions y de la variable x, une fois dérivables, qui vérifient l’équa-

tion

y ′+2y = 0,

y ′ désignant la fonction dérivée de la fonction y .

EXERCICE 2

Le plan de la figure est rapporté à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy ; l’unité de

longueur est le centimètre. Soit I l’inversion de pôle O et de puissance 9.

1. L’énoncé notera (P) tout cercle qui coupe x′Ox en deux points, M et M′, qui

soient inverses dans I .

Montrer que tout cercle (Γ) est orthogonal à un cercle fixe, (O).

Un point quelconque du plan est-il le centre d’un cercle (Γ) ? Discuter.

Un cercle étant représenté par son équation,

(1) x2+ y2−2αx −2βy +p = 0,

quelles conditions doivent vérifier les coefficients pour qu’il soit un cercle (Γ) ?

On appelle S l’ensemble des cercles (Γ) ; la suite du problème a pour objet

l’étude de certains ensembles de S .

2. Soit (Γ1) de centre γ1 tout cercle (Γ) dont le centre appartient à une droite fixe,

(D1) non perpendiculaire à x ′Ox.

Montrer que le cercle (Γ1) appartient à un faisceau linéaire F , de cercles.

Discuter la nature du faisceau F suivant la position de la droite (D1) par rap-

port au cercle (O). Déterminer les points limites, ou les points de base, du fais-

ceau F .

Inversement, tout cercle du faisceau F est-il un cercle (Γ1) ? En déduire l’en-

semble des points γ1.

3. Soit (Γ2), de centre γ2 tout cercle (Γ) tangent à une droite fixe, (D2), d’équation

y = 1.

Montrer, à l’aide de l’inversion I , que le cercle (Γ2) est aussi tangent à un

cercle fixe, (C2), dont on précisera le centre et le rayon.

Un cercle étant représenté par l’équation (1), écrire un système de conditions

liant α,β,p pour qu’il soit un cercle (Γ2). En déduire l’ensemble des points γ2.

4. Soit (Γ3), de centre γ3, tout cercle (Γ) tangent à un cercle fixe (C3), de rayon 1,

dont le centre a pour coordonnées (0 ; +2).

Montrer, à l’aide de l’inversion I , que le cercle (Γ3) est aussi tangent à un

cercle fixe, (

C ′3

)

, dont on précisera le centre et le rayon.

Un cercle étant représenté par l’équation (1), écrire un système de conditions

liant α,β,p pour qu’il soit un cercle (Γ3).

En déduire l’ensemble des points γ3. On pourra faire une translation du re-

père, portant l’origine au point de coordonnées (0 ; +4).

N. B. - Après la question 1, les questions 2, 3, 4 peuvent être traitées dans un ordre

arbitraire.

Les figures seront faites avec soin ; l’unité de longueur est imposée : le centimètre.

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