Travaux pratiques de mathématique élémentaire 4, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 4, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 4 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative, l’équation trigonométrique, l'inversion.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Dakar juin 1963

EXERCICE 1

Étudier les variations de la fonction

y = 1

4 x3+

3

2 x2−4x −5.

Construire la courbe représentative ; montrer qu’elle admet un centre de symétrie ; donner l’équation de la tangente en ce point.

EXERCICE 2

Déterminer les solutions de l’équation trigonométrique

sin x

2 − p 3cos

x

2 = 2sin

π

5

comprises entre −10000 °et +10000 °. (L’usage des tables n’est pas nécessaire.)

EXERCICE 3

Soient un repère cartésien orthonormé, x′Ox, y ′Oy , une longueur donnée a et le

point fixe A, sur l’axe x′Ox, d’abscisse 4a

3 ;.

M étant un point quelconque de l’axe y ′Oy , on désigne par (M) le cercle de centre

M et de rayon égal à 1

2 AM.

1. I étant le conjugué de A par rapport au cercle (M) situé sur la droite AM, quel est l’ensemble des points I quand M décrit l’axe y ′Oy ?

Soit D la parallèle à x′Ox issue de I ; elle coupe (M) en deux points, P1 et P2. On appelle u l’ordonnée deM.

Donner, en fonction de u, l’équation du cercle (M), l’équation de la droite D, les coordonnées des points P1 et P2.

En déduire l’équation de la courbe (C) décrite par les deux points P1 et P2 lorsque M décrit l’axe y ′Oy .

On trouvera

y2−3x2+ 4a2

3 = 0.

2. Construire cette courbe (C) et préciser ses éléments (sommets, foyers, direc- trices, asymptotes).

Montrer que la courbe (C) est tangente au cercle (M) aux deux points corres- pondants, P1 et P2.

3. Soit (M′) le cercle inverse du cercle (M) dans l’inversion de pôle A et de puis- sance 2a2 ; on appelle M′ son centre.

Quel est l’ensemble des points M′ quandM décrit y ′Oy ?

Calculer le rayon de (M′) en fonction de AM′.

Montrer que les cercles (M′) restent orthogonaux à un cercle fixe, que l’on pré- cisera, quand M décrit y ′Oy .

Préciser la position des points P′1 et P ′ 2 inverses des points P1 et P2.

Quelle est, en P′1 (ou P ′ 2), la tangente à la courbe (C

′) décrite par ces deux points quandM décrit y ′Oy ?

Le baccalauréat de 1963 A. P. M. E. P.

Montrer que la droite P′1P ′ 2 passe par un point fixe.

En déduire que la courbe (C′) se conserve dans une inversion, que l’on préci- sera.

La droite AP′1 (ou AP ′ 2 recoupe la courbe décrite par M

′ en h′1 (ou h ′ 2). Montrer

que la longueur P′1h ′ 1 (ou P

′ 2h

′ 2) est constante et égale à a.

(Cette propriété pourrait permettre de construire (C′) point par point.)

Dakar 2 juin 1963

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