Travaux pratiques de mathématique élémentaire 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 6 sur les hyperboles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les 2 cercles principaux, les directrices.
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La Reunion juin 1963.dvi

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ La Réunion juin 1963

EXERCICE 1

Pour quelles valeurs de x la fonction v1+"X+ 1

y =

p 1+ x +1

p 1+ x −1

est-elle définie ?

Calculer sa dérivée.

EXERCICE 2

Résoudre et discuter l’équation suivante, où x est l’inconnue et a un paramètre :

p 1+ x +1

p 1+ x −1

= a.

EXERCICE 3

On donne un point F et une droite (∆) ne passant pas par F et l’on se propose d’étu-

dier les hyperboles (H) admettant F pour foyer et (∆) pour asymptote.

1. Rappeler sans démonstration comment, connaissant un foyer et le cercle prin-

cipal d’une hyperbole, on peut obtenir les différentes tangentes de cette hy-

perbole, ainsi que ses asymptotes.

Montrer qu’il existe une infinité d’hyperboles (H), en étudiant leurs cercles

principaux.

2. Trouver le lieu géométrique du second foyer, F′, et l’enveloppe de la deuxième

asymptote, (

∆ ′ )

, de l’hyperbole (H).

3. (L), (D), (D′) désignant respectivement l’axe non focal de H et les directrices

associées à F et F′, déterminer les enveloppes de ces trois droites.

4. Montrer que les sommets, A et A′, de l’hyperbole (H) se correspondent dans

une inversion fixe, que l’on précisera.

ϕ désignant la projection orthogonale de F sur (∆), construire les inverses de

la droite AA′ et du cercle de diamètre AA′ dans l’inversion de pôle ϕ qui laisse

F invariant.

En déduire, en obtenant son équation dans un système d’axes convenable,

que l’inverse du lieu de A et A′ dans cette inversion est porté par l’hyperbole

équilatère dont F et ϕ sont les sommets.

5. Montrer que, par un point M donné du plan, il passe en général deux hyper-

boles (H) qui ont un deuxième point commun, M′.

Montrer que la droite MM′ passe par un point fixe et que les droites FM′ 1 ont

leurs bissectrices fixes.

(On pourra, dans cette question 5, utiliser une inversion de pôle F.)

1. Il s’agit certainement de l’angle des droites FM et FM′.

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