Travaux pratiques de mathématique élémentaire 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique élémentaire 9 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme trigonométrique, les deux plans parallèles.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Maroc juin 1963

EXERCICE 1

On donne le nombre complexe z =−1− i.

Calculer son module et son argument.

Mettre z sous forme trigonométrique.

En déduire les nombres complexes dont le cube est égal à z. Donner les résultats

sous la forme algébrique, sans utiliser de table numérique.

EXERCICE 2

On donne une sphère de centre O et de rayon R, un plan (P) passant par O, le rayon

OA perpendiculaire à (P) et un plan (Π) parallèle à (P) et coupant OA en H tel que

OH = x (0< x <R).

Calculer en fonction de x et de R l’aire S de la section de la sphère par le plan (II).

Calculer une primitive de S et en déduire le volume V du solide intérieur à la sphère

et compris entre les deux plans parallèles. Donner R la valeur de V pour x = R

2 .

EXERCICE 2

Représentation plane des trajectoires orbitales d’un satellite.

1. Question préliminaire. - On donne la fonction

y = sinx

1+ sin2 x .

Calculer sa dérivée et utiliser cette dérivée pour étudier les variations et la re-

présentation graphique de y lorsque x varie de 0 à 2π.

2. On donne alors un repère orthonormé Ox y z et le point M de coordonnées

x = R cosv cosu, y = R cosv sinu, z = R sinv,

R est une longueur donnée et u et v les mesures en radians de deux angles

tels que

0< u < 2π, − π

2 < v <

π

2 .

Montrer que, si u et v varient, M décrit une sphère (S) de centre O.

Montrer que v peut être considéré comme l’angle de OM et du plan xOy et u

comme l’angle de Ox avec la projection de OM sur le plan xOy .

3. Mappartenant toujours à la sphère (S), on suppose, de plus, queM se déplace

dans le plan (Π) dont l’équation est z = y .

M décrit donc dans ces conditions un cercle (γ). Trouver, dans ce cas, en uti-

lisant les formules données à la question précédente, une relation entre une

fonction circulaire de u et une fonction circulaire de v .

4. On projette M en H sur Oz et l’on prolonge la demi-droite d’origine H et por-

tant HM jusqu’à ce qu’elle coupe en P le cylindre (C) d’équation

x2+ y2−R2 = 0.

[On remarquera que ce cylindre est circonscrit à la sphère (S).]

Le baccalauréat de 1963 A. P. M. E. P.

On dira qu’on a projeté M en P sur (C).

Calculer, en fonction de u et de v , les’ coordonnées x′, y ′,z ′ du point P.

Montrer, en utilisant la relation trouvée à la question 3, qu’il existe deux rela-

tions algébriques entre x′, y ′,z ′.

5. Pour effectuer une représentation plane du lieu de P on considère, dans un

plan quelconque, un repère orthonormé XY et, dans ce plan, le point I de

coordonnées X ,Y , tel que l’on ait

X = u, Y = z.

On posera R = 1.

En utilisant la relation trouvée à la question 3 entre u et v , trouver la relation

qui existe entre X et Y indépendamment de u et de v . Montrer qu’elle définit

une fonction Y de X qui’ n’est autre que la fonction étudiée à la question 1.

Maroc 2 juin 1963

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