Travaux pratiques de mathématique et technique 2, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique et technique 2, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 2 sur les fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les logarithmes népériens, la transformation ponctuelle.
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[ Baccalauréat Poitiers–Limoges juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Déterminer les fonctions y de la variable x vérifiant l’équation

2y ′+3y = 0.

Soit y1 la fonction y particulière qui prend la valeur e (e : base des logarithmes né-

périens) lorsque x =− 2

3 .

Étudier cette fonction et construire son graphe. Préciser, à 10−4 près, la valeur de y1 pour x = 1. Montrer que tous les graphes des fonctions y se déduisent du graphe de la fonction y1 par une transformation géométrique simple.

EXERCICE 2

Ondonne, dans un repère orthonormé (Ox, Oy), le cercle (C) de centre O et de rayon a(a > 0). On appelle (D) la polaire d’un point M par rapport à (C), H le point d’inter- section de (D) et OM.

1. On suppose que M décrit un cercle (Γ). Trouver l’ensemble des points H et l’enveloppe de la droite (D).

Discuter la nature de cette enveloppe suivant la position de O par rapport à (Γ).

2. Soit x0 ; y0 les coordonnées de M ; établir l’équation de (D). [R décrivant la

droite (D), on pourra utiliser le produit scalaire −−→

OR · −−→

OM .]

Calculer, en fonction de x0 et y0, les coordonnées des points P et Q d’intersec- tion de (D) avec Ox et Oy .

Montrer analytiquement que, si (D) passe par un point fixe de coordonnées p et q , M décrit une droite fixe, dont on formera l’équation en fonction de p et q . Expliquer géométriquement le résultat.

3. Soit M′ le quatrième sommet du rectangle OPM′Q construit sur OP et OQ comme côtés. Calculer les coordonnées de M′ en fonction des coordonnées x0 et y0 deM.

Montrer que l’on a ainsi défini une transformation ponctuelle associant M′ à M.

Comment doit-on choisir M pour que M′ soit défini ?

La transformation est-elle involutive ?

Quels sont ses points doubles ?

Trouver, en fonction de x0 et y0, l’équation du cercle (L) de diamètre MM′ et montrer que la puissance de l’origine par rapport à ce cercle est constante.

En déduire que le cercle (L) est orthogonal à un cercle fixe.

On suppose que le milieu de MM′ décrit une droite (∆). Montrer que le cercle (L) appartient alors à un faisceau, dont on discutera la nature suivant la dis- tance deO à (∆). Donner une construction simple des points remarquables de ce faisceau dans chaque cas.

4. Montrer que, si M décrit une droite d’équation ux + v y +w = 0, M′ décrit une hyperbole, dont on donnera l’équation en fonction de u,v et w . Soit (H) l’hy- perbole correspondant à la droite

x +2y a = 0.

Baccalauréat Mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

Construire (H) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).

Déterminer, à 1

100 près par défaut, l’aire (S) comprise entre (H), l’axe des abs-

cisses et les droites x = 0 et x =−3.

Poitiers–Limoges 2 juin 1966

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