Travaux pratiques de mathématique et technique 7, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique et technique 7, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 7 sur le module et l’argument du nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations des fonctions, le point de l’hyperbole.
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Sud Vietnam juin 1966.dvi

[ Baccalauréat Sud Viet-Nam juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe

z = 1+ i

p 3

1− i .

2. Déterminer les entiers naturels n (n 6= 0) tels que zn soit réel. Calculer zn cor- respondant à la plus petite des valeurs de n obtenues.

3. Déterminer les entiers naturels n tels que zn soit imaginaire pur.

EXERCICE 2

1. Étudier les variations des fonctions

y1 = p 33

2

(

x − √

x2−1 )

et y2 = p 33

2

(

x + √

x2−1 )

.

Construire leurs graphes, (C1) et (C2), dans un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy , dont les vecteurs unitaires auront pour module 2 cm.

On étudiera avec soin les branches infinies de (C1) et (C2).

2. On désigne par (H) la réunion de (C1) et (C2).

Montrer que, pour qu’un point M(x ; y) du plan appartienne à (H), il faut et il suffit que

y2− p 3x y +

3

4 = 0.

On rapporte le plan au nouveau repère normé X ′OX , Y ′OY défini par

(−−→ xx ,

−−−→ X X

)

= 0 (mod.2π), (−−−→ X X ,

−−−→ Y Y

)

= π

3 (mod.2π).

Établir les relations liant les coordonnées (x ; y) et (X ; Y ) d’un point du plan dans l’ancien et le nouveau repère.

Quelle est l’équation de (H) dans ce nouveau repère ?

En déduire que (H) est une hyperbole, dont on déterminera les foyers, F et F′, les sommets et l’excentricité.

3. M étant un point de l’hyperbole (H), quelconque mais distinct des sommets, on désigne par T et N les points d’intersection de l’axe transverse de (H) avec, respectivement, la tangente et la normale en M à (H), par T′ et N′ les points d’intersection de l’axe non transverse avec cette tangente et cette normale.

a. Montrer que les cinq points F, F′, M, N′ et T′ sont sur unmême cercle.

b. Prouver que les cercles de diamètre NT et N′T′ sont orthogonaux.

c. Établir les relations

ON′ · OT′ =−2 et ON · OT= 2.

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