Travaux pratiques de mathématique et technique 8, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique et technique 8, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 8 sur le barycentre. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées de G, les calculs.
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[ Baccalauréat Tahiti juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Un plan est rapporté à un repère orthonormé Ox,Oy . (p ; q) étant un couple de nombres réels, à chaque point C(p ; q) du plan on fait correspondre le barycentre, G, du système des trois points A(q ; 0), B(0 ; p), C(p ; q) affectés de coefficients égaux à 1.

1. Calculer les coordonnées de G, en fonction de p et q .

Quel est l’ensemble (D) des points G lorsque le couple (p ; q) varie ?

Soit G0 un point de (D) d’abscisse λ. Trouver l’ensemble (∆) des points C qui ont pour correspondant le point G0 ?

En déduire que l’application qui transforme C en G est la composée (ou pro- duit) de deux transformations simples.

2. Étant donné un couple (p ; q) fixe, montrer que l’ensemble des points M du plan tels que

MA2+MB2+MC2 = 2 (

p 2+q2

)

est un cercle (Γ) passant par O.

Quel est l’ensemble des cercles (Γ) lorsque le couple (p ; q) varie ?

EXERCICE 2

On donne, dans un repère orthonormé Ox, Oy , un cercle (C) de centre O, de rayon a p 2. On désigne, par A et B les points dont les coordonnées sont A(x = −a, y = a),

B(x =−a, y =−a) a > 0.

Soit P un point variable du cercle (C) distinct de A et B et défini par (−−→ Ox ,

−−→ OP

)

= θ.

Les droites PA et PB coupent respectivement Oy en M et N. On pose −−→ PM = λ

−→ PA .

1. Montrer que

λ=

p 2cosθ

1+ p 2cosθ

.

2. Calculer, en fonction de a et de θ, la mesure algébrique, u, sur Oy , du vecteur −−→ MN .

Étudier la variation de u lorsque θ varie dans l’intervalle (−π ; +π).

Construire le graphe de cette fonction.

En utilisant ce graphe, indiquer le nombre des points P du cercle (C) pour lesquels la distance MN est égale à la distance AB.

Donner une construction géométrique de ces points.

Calculer les valeurs de θ correspondantes, en degrés, minutes et secondes, à l’aide dune table de logarithmes. (Donner seulement les valeurs comprises entre −180 °et +180 °.)

3. Calculer, en fonction de θ, le rapport, z, des aires des triangles PMN et PAB.

Étudier la variation de z lorsque θ varie dans l’intervalle (0 ; π). (Le graphe n’est pas demandé, mais on dressera le tableau de variation.)

Le baccalauréat de 1966 A. P. M. E. P.

4. Soit ω le centre du cercle (Γ) circonscrit au triangle PMN. Établir que −−→ Oω = (1−λ)

−−→ OP , λ étant le nombre réel déterminé au 1.

Calculer les coordonnées deω en fonction de θ.

Prouver que le cercle (Γ) a pour équation

(

1+ p 2cosθ

)

(

x 2+ y2

)

−2a p 2(x cosθ+ y sinθ)+2a2

(

1− p 2cosθ

)

= 0.

Pour quelles valeurs de cosθ le cercle (Γ) est-il tangent à l’axe Oz ?

Pour chacune de ces valeurs, on calculera l’abscisse du point de contact de (Γ) avec Ox.

5. Démontrer qu’il existe un point I de Ox ayant la même puissance pour tous les cercles (Γ). En déduire :

a. qu’il existe un cercle (I) centré en I et orthogonal à tous les cercles (Γ) ;

b. que les cercles (Γ), déjà tangents à (C), sont tangents à un second cercle, (C′) ; préciser le rayon de (C′) et l’abscisse de son centre.

6. Soit H la projection orthogonale de ω sur la droite (∆) d’équation x = a. Cal- culer la longueur ωH en fonction de θ.

Que peut-on dire du rapport ωO

ωH ?

Quelle est la nature de la courbe (L) sur laquelle se déplace ω ?

Préciser les points d’intersectionde (L) avec l’axeOy ;montrer qu’en ces points, (L) est tangente au cercle (I).

Tahiti Mathématiques élémentaires 2 juin 1966

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