Travaux pratiques de mathématique - série 1, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de mathématique sur la série des mathématiques élémentaires etmathématiques et technique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, le point C de coordonnées, le nombre a...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix-Marseille 1 juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

On donne un triangle ABC, dont le centre de gravité est G ; soit M un point de son plan.

1. Exprimer

f (M)= −−→

MB · −−→

MC + −−→

MC · −−→

MA + −−→

MA · −−→

MB .

au moyen des seules longueurs MG, BC, CA, AB.

2. Quel est l’ensemble E des points M tels que’ f (M)= 0 ?

Quels points de E appartiennent au cercle de diamètre BC ?

EXERCICE 2

Soit un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy ; p et q étant deux nombres réels, on désigne par M le point de coordonnées (p ; q) et on considère l’équation en z

(1) z2−2pz +q = 0,

dont les racines peuvent être réelles ou complexes. Ainsi, à tout point M est associée une équation (1), et réciproquement.

1. Déterminer et représenter sur une même figure les ensembles A, B, C des points M tels que (1) possède

a. des racines complexes ;

b. des racines réelles et distinctes ;

c. une racine double.

Calculer les racines dans chacun de ces trois cas.

2. Former l’équation de la tangente à C en son point d’abscisse c ; montrer que, si M(p ; q) appartient à B, l’équation (1) donne les abscisses des points de C où la tangente passe en M .

Dans les deux questions suivantes, k désigne un nombre réel positif donné ; pour répondre à ces questions, on pourra examiner successivement les cas où M appartient à A ou à B.

3. Déterminer l’ensemble Ek des points M tels que le module de la différence entre les racines de l’équation (1) associée à M soit inférieur à 2k.

Représenter sur une figure les ensembles A, B, C, Ek et hachurer ce dernier.

4. Déterminer l’ensemble Fk des points M tels que les modules des racines de l’équation (1) associée à M soient, tous deux, inférieurs à k.

Représenter sur une figure les ensembles A, B, C, Fk eL hachurer ce dernier.

5. On donne un nombre positif k ; quel est le plus grand nombre, k ′, tel que l’en- semble Fk ′ soit inclus dans l’ensemble Ek ?

Est-il possible de répondre en tout ou en partie à cette question sans utiliser les résultats des deux questions précédentes ?

1. Bordeaux-Clermont–Montpellier–Nantes–Poitiers–Rennes–Toulouse

Baccalauréat mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

6. On suppose que M appartient à B et l’on désigne par ΓM le cercle qui a son centre sur la droite x′Ox et qui coupe cette droite aux points dont les abscisse sont les racines de l’équation (1) associée à M .

Écrire l’équation du cercle ΓM .

Montrer qu’un sous-ensemble de cerclesΓM est un faisceau linéaire si, et seule- ment si, les points M correspondants appartiennent à une même droite, ∆, non parallèle à Oy , qu’on déterminera par une équation de la forme

y = mx +h.

Montrer que la nature du faisceau est liée au nombre des points communs à ∆ et à C ; peut-on caractériser géométriquement, lorsqu’ils existent, les points de Poncelet du faisceau ?

Aix-Marseille 2 juin 1965

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