Travaux pratiques de mathématique - série 10, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique - série 10, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série des mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les racines, réelles ou complexes, les variations de la fo...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Dakar juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Dans le plan complexe on désigne par M l’image du nombre complexe z. Quel est l’ensemble des points M tels que (za)(zb) soit réel ? (a et b sont deux nombres complexes donnés.)

EXERCICE 2

Construire un cercle (γ) tangent à un cercle donné, (C), et à une droite donnée, (D), en un point donné, A, de cette droite.

EXERCICE 3

Soit (γ) la courbe d’équation cartésienne

x2

a2 +

y2

b2 −1= 0

par rapport à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

; a etb sont deux longueurs données.

1. À partir de la représentation paramétrique

{

x = a cos t , y = b sin t

de (γ),montrer que l’équation cartésiennede la tangente enunpointM0 (

x0 ; y0 )

de (γ) est

m0x

a2 +

y0y

b2 −1= 0.

2. À tout pointM0 (

x0 ; y0 )

du plan et distinct de O, on fait correspondre la droite (m0) d’équation

m0x

a2 +

y0y

b2 −1= 0.

Vérifier que, lorsque a = b, la droite (m0) est la polaire de M0 par rapport au cercle (γ).

3. Montrer que l’application M 7−→ (m0) est une application biunivoque (ou une bijection) de l’ensemble des points du plan distincts de O sur l’ensemble des droites ne passant pas par O.

Pour toute droite (m0) d’équation

ux+ vy +h = 0

ne passant pas par O, donner les coordonnées du point M0 correspondant.

4. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que (m0) soit tangente à (γ) est queM0 ∈ (γ).

En déduire qu’une condition nécessaire et suffisante pour que la droite d’équation ux+ vy +h = 0 soit tangente à (γ) est que

a2u2+b2v2−h2 = 0.

Baccalauréat mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

5. Utiliser cette dernière relationpour discuter le nombrede tangentes à (γ) issues d’un point P (λ ; µ) donné (on pourra former l’équation donnant les pentes de ces tan- gentes).

En utilisant cette même relation trouver l’ensemble des points d’où l’on peut mener à (γ) deux tangentes perpendiculaires.

6. On suppose queM0 décrit une droite (d) donnée ne passant pas par O. Montrer que (m0) passe par un point fixe.

Que devient ce résultat lorsque (d) passe par O ?

Dakar 2 juin 1965

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