Travaux pratiques de mathématique - série 12, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique - série 12, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe (C) d’équation, les coordonnées du centre, les équati...
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Dijon math-elem juin 1965.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Dijon juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Construire la courbe (C ) d’équation

y2 = x2+2x −3,

dans un repère cartésien orthonormé x′Ox, y ′Oy . (Unité graphique : 1 cm.) On indiquera la nature de la courbe (C ) et l’on en précisera les éléments suivants : centre, sommets, foyers, asymptotes. On donnera les coordonnées du centre, des sommets et des foyers, ainsi que les équations des asymptotes, dans le repère x′Ox, y ′Oy .

EXERCICE 2

Dans un plan rapporté à un repère cartésien orthonormé x′Ox, y ′Oy , on considère le cercle (a), de centre A(+3 ; 0) et de rayon 2, et le cercle (b), de centre B(0 ; +4) et de rayon 4. Soit M un point variable de l’axe x′Ox. On désigne par x l’abscisse de M, par pa la puissance de M par rapport au cercle (a), par pb la puissance de M par rapport au cercle (b).

1. Écrire les équations des cercles (a) et (b).

2. Calculer en fonction de x la valeur du rapport

u = pa

pb .

Étudier les variations de la fonctionu(x) ainsi définie et en construire la courbe représentative (Γ) dans un repère orthonormé.

3. k étant un nombre réel donné, existe-t-il sur l’axe x′Ox des points M tels que pa

pb = k ? Discuter, suivant la valeur de k, le nombre de ces points M.

Quand il en existe deux, M′ et M′′, montrer que leurs abscisses, x′ et x′′, sont liées par une relation indépendante de k. Écrire cette relation.

4. Montrer qu’il existe un cercle (c) centré sur x′Ox et orthogonal à (a) et (b). En préciser le centre et le rayon.

Construire un cercle (d) centré sur y ′Oy et orthogonal à (a) et (b).

Calculer les coordonnées du centre et le rayon R de (d). On donnera de R la

valeur exacte, puis la valeur décimale approchée par défaut à 1

103 près.

5. On considère la courbe (Γ) construite au 2.

Calculer l’aire arithmétique S limitée par l’axe des abscisses et l’arc de (Γ) dont les extrémités sont sur l’axe des abscisses.

Donner de S l’expression exacte la plus simple, puis la valeur décimale appro-

chée par défaut à 1

103 près.

N. B. - Les calculs numériques peuvent être faits à l’aide d’une des tables de valeurs numériques autorisées.

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