Travaux pratiques de mathématique - série 13, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les intervalles de définition, les valeurs aux bornes des inter...
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Grenoble math-elem juin 1965.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Grenoble juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Deux points, A et B, et une longueur a étant donnés, construire une ellipse admet- tant A comme sommet du grand axe, B comme sommet du petit axe et 2a comme longueur du grand axe. Discuter.

EXERCICE 2

On considère la fonction

y = 3

x +

3

4 x.

1. Étudier cette fonction : intervalles de définition, variation, valeurs aux bornes des intervalles de définition.

Montrer que la courbe représentative, (C ), admet un centre de symétrie.

Déterminer les asymptotes de la courbe.

Tracer la courbe (C ) dans un système d’axes orthonormé x′Ox, y ′Oy , de vec-

teurs unité −→

ı et −→

, l’unité de longueur étant le centimètre.

2. On se propose de déterminer les points de (C ) dont les coordonnées x et y sont des entiers relatifs.

Pour cela, écrire y sous forme d’une fraction.

Démontrer qu’une condition nécessaire pour qu’un point de (C ) ait ses deux coordonnées entières est que x soit pair.

En déduire tous les points de (C ) dont les deux coordonnées sont des entiers relatifs.

Déterminer l’équation de la tangente en celui des points ainsi obtenus dont l’abscisse x est positive et différente de 2. Construire cette tangente.

3. On considère l’aire limitée par la courbe, l’axe x′Ox et deux parallèles à y’Oy, d’abscisses 2 et 4.

Calculer l’aire ainsi limitée.

4. On choisit de nouveaux axes de coordonnées, demême origine que les précé- dents : X ′OX a même direction et même sens que le vecteur dont les compo- santes scalaires par rapport à x′Ox et y ′Oy sont respectivement 4 et 3 ; Y ′OY est confondu avec y ′Oy . −→

I et −→

J , vecteurs unité sur X ′OX et Y ′OY , ont même module que −→

ı et −→

.

Exprimer −→

I et −→

J en fonction de −→

ı et −→

.

Les coordonnées d’un point M étant x et y par rapport aux axes x′Ox, y ′Oy et X et Y par rapport aux axes X ′OX et Y ′OY , déterminer x et y en fonction de X et Y .

En déduire l’équation de la courbe (C ) par rapport aux axes X ′OX , Y ′OY .

Quelle est la nature de cette courbe ?

Endéterminer l’axe focal ; écrire son équationpar rapport aux axes X ′OX ,Y ′OY , puis par rapport aux axes x′Ox, y ′Oy .

En déduire les sommets de la courbe.

N. B. - Les questions 2, 3 et 4 sont indépendanles.

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