Travaux pratiques de mathématique - série 5, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série des mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les ensembles de trois nombres entiers naturels, l’équation...
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[ Bordeaux juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Calculer tg (π

6 − π

4

)

et tg (π

6 + π

4

)

et utiliser le résultat obtenu pour résoudre l’équa-

tion

cosx− sinx cosx+ sinx

= 2cosx.

EXERCICE 2

1. Soit y1 la fonction de R dans R définie par

y1(x) = 3x+ p 4x2

x si x 6= 0

y1(0) = 2.

Étude de la continuité pour x = 0. Représentation graphique.

2. Soit y2 la fonction définie par

y2(x) = 3x+ p 4x2

|x| si x 6= 0

y2(0) = 2.

Étude de la continuité pour x = 0. Représentation graphique.

EXERCICE 3

Dans un repère quelconque, d’axes Ox, Oy , de vecteurs unitaires respectifs −→ ı et

−→ ,

dans le plan, on considère les points A et A′ tels que −−→ OA = −→ı et

−−→ OA′ = −−→ı et B tel

que −−→ OB =−→.

Soit ∆ la droite parallèle à Ox menée par B. On se propose d’étudier la transformation ponctuelle, T , qui, à un point M du plan, fait correspondre le point M ′ = T (M) défini par les conditions suivantes :

{

O, M ,M ′ sont alignés, AM et A′M ′ se coupent sur ∆.

Partie A

1. Quels sont les points du plan où la transformation T n’est pas définie ? (Dans toute la suite, les figures dont il sera question seront supposées privées de ces points.)

Quels sont les points doubles ?

Calculer les coordonnées, x′ et y ′, de M ′ en fonction des coordonnées, x et y , deM .

2. La transformation T est-elle involutive ? (Donner une démonstration analy- tique.)

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

Partie B

Étude de l’image d’une droite par la transformation T.

1. Soit D une droite, d’équation αx+βy +γ= 0. Montrer analytiquement que son image est une droite, D′.

2. Si D coupe ∆, étudier les intersections de D et D′ avec Ox (soit C et C′ ces points).

En déduire unméthode de construction rapide de D′ à partir de D.

3. D et D′ peuvent-elles être parallèles ou confondues et dans quels cas ?

Partie C

1. Montrer géométriquement que, si O′ est l’intersection de la droite OM avec t :J. et M ′ l’image de M par T , les points O, O′,M ,M ′ forment une division harmonique.

Retrouver géométriquement les résultats de A 2. et B 1.

2. On fait varier M sur une droite passant par O et distincte de Ox. Que peut-on dire des cercles de diamètreMM ′ ?

3. Soit ω la projection orthogonale de O sur ∆.

Si M est sur Oω (et distinct du milieu de Oω), montrer que le cercle de dia- mètre MM ′ est invariant par la transformation T .

Partie D

En repère orthonormé d’origine O, en supposant que B = ω et que OB = OA, on don- nera l’équation du cercle de diamètre Oω, puis celle de l’image de ce cercle par T . Reconnaître ensuite cette figure, en faisant une translation d’axes avec, comme nou- velle origine, le milieu de Oω.

Bordeaux 2 juin 1967

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