Travaux pratiques de mathématique - série 8, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’inéquation, la projection orthogonale, la bissectrice de l’ang...
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Centres ĕtrangers mathelem juin 1965.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Centres étrangers 1 juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Résoudre l’inéquation

x −2> x −4,

x est un nombre réel.

EXERCICE 2

Étudier la variation de la fonction f définie, pour x réel, par

f (x)= 2ax2

x2−a2

a étant un nombre réel positif. Tracer le graphe de f dans un repère orthonormé.

EXERCICE 3

On donne, dans un plan fixe, un repère orthonormé (x′Ox, y ′Oy). Soit ∆ la droite d’équation y = a, a étant une constante réelle positive donnée. À tout point M de la droite ∆ on associe le point P tel que les droites OP et xx soient symétriques par rapport àOM et que les points P et M aientmême projection orthogonale sur xx.

1. Le point M peut-il être pris arbitrairement sur ∆ ? On pose

(

xx, OM )

=ϕ.

Évaluer, en fonction de ϕ, les coordonnées des points M et P ; en déduire l’équation cartésienne de l’ensemble des points P et cet ensemble lui-même.

2. Étant donné une droite z z passant par O, construire géométriquement les points M respectivement associés aux points P situés sur z z et ces points P eux-mêmes ; il en existe généralement deux, P1 et P2 ; trouver l’ensemble des points N , milieux des segments P1P2 correspondant à l’ensemble des droites z z passant par O.

Retrouver ces résultats en calculant les coordonnées des points P1,P2 et N en fonction de la mesure θ de l’angle

(

xx, z z )

.

3. Soit Q le symétrique de O par rapport à MP .

Montrer que la droiteQM passe par un point fixe et qu’elle est une bissectrice de l’angle Q du triangle OPQ .

Quelle est l’enveloppe (γ) de la droite uu, seconde bissectrice de l’angle Q du triangle OPQ ?

Discuter, suivant la position de M sur ∆, si QM est bissectrice intérieure ou extérieure du triangle OPQ . Distinguer, sur la courbe (γ), les arcs enveloppés par des droites uu bissec- trices intérieures, des arcs enveloppés par des droites uu bissectrices exté- rieures de l’angle Q du triangle OPQ .

1. Algérie, Tunisie, Cameroun, Togo, Gabon, Tchad, Congo, République Centrafricaine, Dahomey, Malin Côte d’Ivoire, Haute-Volta, Niger, Mauritanie, Athènes, Rome, Espagne, Portugal, Tel-Aviv, Bey- routh, Syrie, Le Caire, Addis-Abbéba,Djibouti

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