Travaux pratiques de modélisation mathématique  1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I
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Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme P, le symétrique de D par rapport à O.
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[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

. On considère les trois

points A (2 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 0) et C(3 ; 2 ; 6). (D) est la droite passant par A et de vecteur

directeur −→ u (0 ; 1 ; 1) et (∆) la droite passant par C et de vecteur directeur

−→ v (1 ; −2 ; 2).

1. Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et (∆) puis montrer que (D) et (∆) sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du vecteur −→ w =−−→AB∧−−→AC (questionhors programme

en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le projeté orthogonal du point F(2 ; 4 ; 4) sur le plan (ABC).

a. Expliquer pourquoi il existe un réel k non nul tel que −−→ FH = k−→w .

b. Déterminer la valeur de k et en déduire les coordonnées de H.

c. Calculer le volume du tétraèdre FABC.

Exercice 2 4 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le polynôme P défini par :

P (z)= z4−6z3+24z2−18z+63.

1. Calculer P (

i p 3 )

et P (

− i p 3 )

puis montrer qu’il existe un polynômeQ du se- cond degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈C, on ait P (z)=

(

z2+3 )

Q(z).

2. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, les

points A, B, C, D d’affixes respectives zA = i p 3, zB = − i

p 3, zC = 3+2i

p 3 et

zD = zC, puismontrer que ces quatre points appartiennent à unmême cercle.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que zC− zB zE− zB

= e − iπ 3

puis déterminer la nature du triangle BEC.

EXERCICE 2 4 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier relatif n, les entiers 14n+3 et 5n+1 sont pre- miers entre eux.

2. On considère l’équation (E) : 87x+31y = 2 où x et y sont des entiers relatifs. a. Vérifier, en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers

entre eux. Endéduire un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87u+31v = 1 puis une solution (x0 ; y0) de (E).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E) dans Z2.

c. Application : Déterminer les points de la droite d’équation

87x −31y −2 = 0 dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100.

Indication : On remarquera que le point M de coordonnées (x ; y) appar- tient à la droite (D) si, et seulement si, le couple (x ; −y) vérifie l’équation (E).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 points

Le but de ce problème est d’étudier dans la partie A la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= x+ 1

x + lnx

x2 ,

de déterminer ensuite dans la partie B. la position de sa courbe représentative par rapport à son asymptote oblique et enfin d’étudier une suite récurrente dans la par- tie C., cette dernière partie étant, dans une large mesure, indépendante des deux autres.

Partie A

1. Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x3− x−2lnx+1.

a. Montrer que la fonction g est dérivable et que, pour tout x ∈]0 ; +∞[,

g ′(x)= (x−1)(3x2+3x+2)

x .

b. Étudier les variations de la fonction g puis déterminer le signe de g (x).

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Montrer que, pour tout x ∈]0 ; +∞[, f ′(x)= g (x)

x3 puis donner le tableau

de variations de f .

Partie B

(Γ) désigne la représentation graphiquede la fonction f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique 2 cm.

1. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x)= x+ lnx. a. Étudier le sens de variation de h, puis montrer que l’équation h(x) = 0

admet une solution unique α sur l’intervalle [0,4 ; 0,7].

b. Montrer que l’on a : e− α =α. 2. a. Vérifier que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à (Γ) en

+ ∞. b. Utiliser les résultats de la question 1 a pour déterminer les positions rela-

tives de (Γ) et (∆).

3. Construire (Γ) et (∆) dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

4. a. Calculer, au moyen d’une intégration par parties, l’intégrale I

I= ∫2

1

ln t

t2 dt .

b. En déduire l’aire, en cm2, de la portion de plan limitée par la courbe (Γ), la droite (∆) et les droites parallèles à l’axe des ordonnées d’équations x = 1 et x = 2.

Partie C

Étude d’une suite (hors-programme en 2002) Dans cette partie :

* I désigne l’intervalle [0,4 ; 0,7] ; * α est le réel mis en évidence au B 1 ;

Amérique du Nord 2 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

* ϕ est la fonction définie sur R par ϕ(x)= e− x ;

* u est la suite récurrente définie par

{

u0 = 0,4 un+1 = ϕ(un )

1. Montrer qu’on a, pour tout x I . a. ϕ(x) ∈ I. b. |ϕ′(x)|6 0,7. c. |ϕ(x)−α|6 0,7|xα|.

2. a. Montrer qu’on a, pour tout n ∈ N, |un+1−α| 6 0,7 |un α|, puis en dé- duire par récurrence qu’on a, pour tout n ∈N,

|un α|6 0,3× (0,7)n .

b. Conclure alors quant à la convergence de la suite u.

3. Déterminer un entier p tel que, pour n > p, on ait |un α|6 10−3, puis don- ner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de up à 10−3 près.

Amérique du Nord 3 juin 2001

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