Travaux pratiques de modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal, l'équation cartésienne, les nombres complexes.
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[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 2001 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie I

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :

(−1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; −4), (1 ; −4 ; 2), (5 ; −2 ; 4).

On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le

milieu du segment [CD] et −→ BJ =

1

4

−−→ BC .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés.

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est :

8x+9y +5z−12 = 0.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et mon- trer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées.

d. Montrer que :

−→ AL =

1

4

−−→ AD .

Partie II

Plus généralement, dans l’espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du seg- ment [CD].

−→ AL =

1

4

−−→ AD et

−→ BJ =

1

4

−−→ BC

Soit G le barycentre de (A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1).

1. Déterminer les barycentres de {(A, 3), (D, 1)} et le barycentre de {(B, 3), (C, 1)}.

2. En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité gra-

phique : 4 cm. Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de

module 1 et d’argument π

2 .

Soit A le point d’affixe zA =−i et B le point d’affixe zB =−2i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, M distinct de A, associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = iz−2

z+ i .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer que, si z est un imaginaire pur, z 6= −i, alors z ′ est imaginaire pur.

2. Déterminer les points invariants par l’application f .

3. Calculer ∣

z ′− i ∣

∣×|z+ i|.

Montrer que, quand le point M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, le point M ′ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

4. a. Développer (z+ i)2, puis factoriser z2+2iz−2.

b. Déterminer et représenter l’ensemble des points M , tels que M ′ soit le symétrique deM par rapport à O.

5. Déterminer et représenter l’ensemble E des points M , tels que le module de z ′ soit égal à 1. (

On pourra remarquer que z ′ = i (zzB)

zzA .

)

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Partie I

Soit x un nombre réel.

1. Montrer que x4+4= (

x2+2 )2 −4x2.

2. En déduire que x4+4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coef- ficients réels.

Partie II

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers A =n2−2n+2 et B = n2+2n+2 et d leur PGCD.

1. Montrer que n4+4 n’est pas premier.

2. Montrer que, tout diviseur de A qui divise n, divise 2.

3. Montrer que, tout diviseur commun de A et B , divise 4n.

4. Dans cette question on suppose que n est impair.

a. Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.

b. Montrer que d divise n.

c. En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

5. On suppose maintenant que n est pair.

a. Montrer que 4 ne divise pas n2−2n+2.

b. Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair.

c. Montrer que p divise n. En déduire que d = 2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question 4)

PROBLÈME 5 points

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= x− (

x2+4x+3 )

e−x .

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

; l’unité graphique est 2 cm.

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire g

Nouvelle-Calédonie 2 décembre 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Soit la fonction g définie sur R par :

g (x)= (

x2+2x−1 )

e−x +1.

1. Étudier les limites de g en +∞ et en −∞.

2. Calculer g ′(x) et montrer que g ′(x) et (3− x2) ont le même signe.

3. En déduire le tableau de variations de g .

4. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions dans R. Vérifier que g (0)= 0. On note α la solution non nulle.

b. Prouver que −2,4<α<−2,3.

5. En déduire le signe g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B - Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.

2. a. Montrer que, pour tout réel x, f ′(x)= g (x).

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

3. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x, est asymptote à la courbe (C ).

4. a. Montrer que la droite (D)et la courbe (C ) se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées.

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ).

5. Construire la courbe (C ) et la droite (D).

Partie C - Calculs d’aire

1. Soit H la fonction définie sur R par :

H(x)= (

ax2+bx+c )

e−x .

Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction H soit une primitive de la fonction h définie par :

h(x)= (

x2+4x+3 )

e−x .

2. Déterminer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe (C ) et la droite (D).

3. Soit m un réel strictement supérieur à −1. On considère le domaine (Dm) délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations respectives x =−1 et x =m.

a. Calculer l’aire (Am) du domaine (Dm), en unités d’aire.

b. Déterminer la limite de (Am) lorsquem tend vers +∞.

Nouvelle-Calédonie 3 décembre 2001

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