Travaux pratiques de modélisation mathématique 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (47.5 KB)
3 pages
171Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de modélisation mathématique 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation graphique, les domaines définis, le plan.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NlleCaledoSmars2001.dvi

[ Baccalauréat série S Nouvelle-Calédonie \ mars 2001

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= ln (

x+ √

x2+9 )

.

et (C ) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal (

O, −→ı , −→)

.

1. Déterminer les images de 0 et de 4 par f , puis l’antécédent de 0 par f .

a. Calculer la limite de f en +∞.

b. Montrer que, pour tout x réel, p x2+9+ x =

9 p x2+9− x

et en déduire la

limite de f en −∞.

2. Montrer que, pour tout réel, f ′(x) = 1

p x2+9

et en déduire le tableau de va-

riations de la fonction f .

3. On considère la fonction g définie, pour tout x réel, par

g (x)= 1

2 ex

9

2 e−x

et (C ′) sa représentation graphique dans le même repère (

O, −→ı , −→)

.

a. Démontrer que, pour tout x réel, (g f )(x)= x.

On admettra de même que, pour tout x réel, ( f g )(x)= x.

b. En déduire que le point M(x ; y) appartient à (C ) si, et seulement si, le point M ′(y ; x) appartient à (C ′).

c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0 ; ln3].

4. Soit D1 etD2 les domaines définis par :

D1 =

{

M(x ; y)

06 x 6 ln3 g (x)6 y 6 0

}

; D2 =

{

M(x ; y)

− 46 x6 0 06 y 6 f (x)

}

.

Les domaines D1 et D2 ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d’aire.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère

les points A (1 ; 2 ; 2), B (3 ; 2 ; 1) et C (1 ; 3 ; 3).

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. Donner une équation de ce plan.

2. On considère les plans (P1) et (P2) d’équations respectives :

(P1) : x−2y +2z−1 = 0 ; (P2) : x−3y +2z+2 = 0.

a. Montrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants. On notera (∆) leur droite d’intersection.

b. Montrer que le point C appartient à la droite (∆).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Démontrer que le vecteur −→ u (2 ; 0 ; −1) est un vecteur directeur de la

droite (∆).

d. En déduire une représentation paramétrique de la droite (∆).

3. Pour déterminer la distance du point A à la droite (∆) de représentation pa- ramétrique :

x = 2k+1 y = 3 (k ∈R), z =−k+3

on considère le point M de paramètre k de la droite (∆).

a. Déterminer la valeur de k pour que les vecteurs −−→ AM et

−→ u soient orthogo-

naux.

b. En déduire la distance du point A à la droite (∆).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x ; y) tels que P.G.C.D. (x ; y)= y x.

1. a. Calculer le P.G.C.D. (363 ; 484).

b. Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?

2. Soitn unentier naturel nonnul ; le couple (n ; n+1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x ; y) appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k+1)(y x).

b. En déduire que, pour tout couple (x ; y) de S, on a :

P.P. C.M. (x ; y)= k(k+1)(y x).

4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b. En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que P.P.C.M. (x ; y) = 228.

PROBLÈME 10 points

Il est possible que certains des résultats, à démontrer dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l’écran de votre calculatrice graphique.

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ par :

f (x)= 10(x−8)

x(x−1)

et ondésignepar (C ) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal (

O, −→ı , −→)

.

1. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Déterminer les limites de f quand x tend vers 1 par valeurs inférieures et quand x tend vers 1 par valeurs supérieures.

c. En déduire les asymptotes à la courbe (C ).

2. a. Déterminer la dérivée f ′ de la fonction f .

Nouvelle-Calédonie 2 mars 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Montrer que f ′(x) s’annule pour α= 8+2 p 14 et pour β= 8−2

p 14.

c. Dresser le tableau de variation de f

3. Soit I le point de la courbe (C ) d’abscisse 1

2 .

a. Déterminer une équation de la droite (∆) tangente en I à la courbe (C ).

b. Montrer que le point L, intersection de la courbe (C ) avec son asymptote horizontale, appartient à la droite (∆).

c. Représenter la partie de la courbe (C ) pour les valeurs de x strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 3 cm en ordon- née).

4. a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x élément de l’intervalle

]1 ; +∞[, on ait f (x)= a

x +

b

x−1 .

b. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 8. Calculer, en unités d’aire, en fonction de λ, l’aire A (λ) du domaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x =λ.

c. Calculer la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞.

Partie B

Probabilités

Une urne contient n boules (n > 8) dont 3 jaunes et 5 vertes. Les autres boules sont rouges. I. Étude d’un cas particulier : n = 16. Il y a donc 8 boules rouges.

1. On tire une boule de l’urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

— A : « On obtient deux boules rouges », — B : «On obtient une boule rouge puis une boule verte ou une boule verte

puis une boule rouge », — C : «On obtient une boule rouge puis une boule jaune ou une boule jaune

puis une boule rouge », — D : « On obtient au moins une boule rouge ».

2. On effectue maintenant un tirage simultané de deux boules de l’urne. Déterminer la probabilité des évènements :

— A′ « On obtient deux boules rouges », — B′ « On obtient une boule rouge et une boule verte ».

II. n quelconque (n > 8) Il y a donc (n−8) boules rouges.

1. Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l’urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule. Dé- terminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une boule rouge ».

2. On revient au tirage simultané de deux boules :

a. Déterminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir deux boules rouges ».

b. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement : « Obtenir une boule rouge et une boule verte ».

c. En utilisant les variations de la fonction f étudiée dans la partie A, indi- quer les valeurs de n qui rendent pn maximum, puis indiquer la valeur de ce maximum.

Nouvelle-Calédonie 3 mars 2001

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome