Travaux pratiques de modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (41.1 KB)
3 pages
163Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de modélisation mathématique 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan complexe, L’ensemble F des points M.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
PolynesieSjuin2001.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2001 \

EXERCICE 1 5 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique 2 cm, on considère les points A et B, d’affixes respectives zA =−1 et zB = 3i. Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui à tout point M d’affixe z associe

le point M ′ d’affixe z ′ tel que : z ′ = i

(

z −3i

z +1

)

(1).

1. Soit C le point d’affixe zC = 2− i. Montrer qu’il existe un seul point D tel que f (D) = C.

2. Déterminer la nature du triangle ABC.

3. À l’aide de l’égalité (1), montrer que, pour tout M distinct de A et de B :

OM ′ = BM et ( −→ u ,

−−−→

OM ′ )= π

2 + (

−−→ MA ,

−−→ MB ) (modulo 2π).

4. En déduire et construire les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M tels que l’image M ′ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1.

b. L’ensemble F des points M tels que l’affixe de M ′ soit réelle.

5. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

2 .

On note C1 l’image de C par R.

a. Déterminer l’affixe de C1.

b. Montrer que C1 appartient à l’ensemble F.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Une boîte contient 8 cubes :

1 gros rouge et 3 petits rouges 2 gros verts et 1 petit vert

1 petit jaune

Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur). Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On note A l’évènement : « obtenir des cubes de couleurs différentes » et B l’évènement : « obtenir au plus un petit cube ».

a. Calculer la probabilité de A.

b. Vérifier que la probabilité de B est égale à 2

7 .

2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l’enfant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X.

3. L’enfant répète n fois l’épreuve « tirer simultanément trois cubes de la boîte », en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note Pn la probabilité que l’évènement B soit réalisé au moins une fois.

a. Déterminer Pn en fonction de n.

b. Déterminer le plus petit entier n tel que Pn > 0,99.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1.

a. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

b. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l’équation (E’) : 91x +10y = 412.

c. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E′′) A3x + A2y = 3296.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E′′).

b. Montrer que (E′′) admet pour solution un couple unique d’entiers natu- rels.

Le déterminer.

PROBLÈME 11 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Dans tout le texte e désigne le nombre réel qui vérifie ln e = 1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx + xe

x2 .

On note Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique : 2 cm.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)=−2lnx xe+1.

1. Déterminer les limites de g en 0 et en + ∞.

2. Étudier le sens de variation de g .

3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l’équation g (x)= 0 admet une solution et une seule notée α. Déterminer un encadrement de α à 0,1 près.

4. En déduire le signe de g (x) selon les valeurs de x.

Partie B : Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Soit f ′ la fonction dérivée de f . Vérifier que f ′(x)= g (x)

x3 puis étudier le sens

de variation de f sur ]0 ; +∞[.

3. Montrer que f (α)= 1+αe

2α2 .

4. Donner le tableau de variations de f .

5. Construire Γ.

Polynésie 2 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C : Intégrale et suite

Soit In = ∫en+1

en

ln t

t2 dt et An =

∫en+1

en f (t)dt pour tout entier naturel n.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que :

In = n+1

en

n+2

en+1 .

2. a. Montrer que An = In+ e.

b. Calculer I0 et A0.

c. Donner une interprétation géométrique de A0.

3. Montrer que la suite (An) converge vers e.

Polynésie 3 juin 2001

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome