Travaux pratiques de modélisation mathématique 14, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 14, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction, le cercle de centre B.
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[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2001 \

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Pour tout naturel n> 1 on pose :

In = 1

2n+1n!

∫1

0 (1− t)ne

t 2 dt .

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

2. Démontrer que pour tout naturel n> 1 on a :

In+1 = In − 1

2n+1(n+1)! .

3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n> 1 on a :

p e= 1+

1

2 · 1

1! +·· ·+

1

2n · 1

n! + In .

4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que :

06 In 6 1

2nn! A.

On pourra déterminer A enmajorant la fonction :

t 7−→ (1− t)ne t 2 sur l’intervalle [0 ; 1]

En déduire la limite quand n tend vers l’infini de :

un = 1+ 1

2 · 1

1! +·· ·+

1

2n · 1

n! .

Exercice 2 4 points

Enseignement obligatoire

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité

graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives

zA = 2i, zB = i, zC =−1+ i, zD = 1+ i.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit la fonction f deP - {B} dansP qui au pointM d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ où

z ′ = i z−2i z− i

.

a. Développer (z+1− i)(z−1− i). b. Chercher les points M vérifiant f (M) = M et exprimer leurs affixes sous

forme algébrique puis trigonométrique.

2. a. Montrer que, pour tout z différent de i,

|z ′| = AM

BM ,

et que, pour tout z différent de i et de 2i,

arg (

z ′ )

= (−−→ BM ,

−−→ AM

)

+ π

2 (modulo2π).

b. Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que |z ′| = 1.

c. Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que

arg (

z ′ )

= π

2 (modulo 2π).

3. a. Démontrer que z ′− i= 1

z− i et en déduire que |z ′− i|×|z− i| = 1, pour tout

complexe z différent de i.

b. Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1

2 . Prouver que le

point M ′ d’affixe z ′ appartient à un cercle de centre B et de rayon à déter- miner.

Exercice 2 4 points

Enseignement de spécialité

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

A ; −→ u ,

−→ v

)

, unité

graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par : −−→ AB = 2−→u , −−→AD = 3−→v et C

tel que ABCD soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit E l’image de B par la translation de vecteur −−→ DB . Déterminer l’affixe zE de

E.

2. Déterminer les nombres réels a, b tels que le point F d’affixe zF = 6− i soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients a, b et 1.

3. On considère la similitude s qui transforme A en E et B en F. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′, image deM par s.

a. Exprimer z ′ en fonction de z.

b. Déterminer le centre I, l’angle et le rapport de la similitude s.

c. Déterminer les images de C et de D par s.

d. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD.

4. a. Déterminer l’ensemble Ω des points M du plan tels que :

∥6 −−→ MA −10−−→MB +−−→MC

∥= 9.

b. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de Ω par s.

Problème 11 points

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité graphique est 4 cm

sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (2+cosx)e1−x .

On note C la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que, pour tout x de R : f (x)> 0.

2. a. Montrer que, pour tout x de R : p 2cosx

(

xπ

4

)

= cosx+ sinx.

b. En déduire que, pour tout x de R : 2+cosx+ sinx > 0.

2

c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.

3. a. Montrer que, pour tout x de R : e1−x 6 f (x)6 3e1−x .

b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞. c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite

de f en +∞. 4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; π], l’équation f (x) = 3 admet une solu-

tion unique α.

b. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. Représenter la courbe C sur [0 ; 4].

Partie B

On veut calculer l’aireA , exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

1. Montrer que : A = 2e−2+ ∫1

0 cos te1−t dt .

2. On pose : I = ∫1

0 cos te1−t dt et J =

∫1

0 sin te1−t dt .

a. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

I=−cos1+e− J et J=−sin1+ I.

b. En déduire la valeur de I.

3. Déterminer la valeur exacte de A en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A si à 10−2 près par défaut.

Partie C

Soit h la fonction définie sur R par :

h(x)=−1− sinx

2+cosx .

1. a. Montrer que la fonction h admet des primitives sur R.

b. Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1+ ln3). 2. a. Déterminer ln[ f (x)] pour tout x de R.

b. Étudier le sens de variations de la fonction H .

c. Déterminer le tableau de variations de H .

3. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction définie sur R par x 7−→ 1− x + ln(2+ cosx). (On ne demande pas de représenter Γ.) On appelle ∆ la droite d’équation y =−x+1. a. Étudier la position relative de Γ et de ∆.

b. Déterminer les abscisses des points communs à Γ et ∆.

4. a. Établir une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de Γ et T.

5. Montrer que la courbe Γ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

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