Travaux pratiques de modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de répartition, la probabilité, le système.
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[ Baccalauréat S Antilles - Guyane septembre 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Soitm un nombre réel et f la fonction définie sur R par :

{

f (x) = m sinx pour x ∈ [0 ; π] f (x) = 0 sinon.

1. Déterminer le réelm tel que f soit une densité de probabilité.

2. Représenter f dans un repère orthonormé.

3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.

Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.

4. Calculer la probabilité p

(

π

4 6 X 6

3π

4

)

.

5. Calculer les probabilités p(X > 0) et p(X 6 0).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation d’inconnue z :

z2+8z p 3+64= 0.

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a =−4

p 3−4i et b =−4

p 3+4i.

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe c = p 3+i et par D son image par la rotation

de centre O et d’angle π

3 . Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; −1), (D ; 1 ) et (B ; 1).

a. Montrer que le point G a pour affixe g =−4 p 3+6i.

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm).

c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. a. Justifier l’égalité cg

ag =

1

2 + i

p 3

2 .

b. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ GA ,

−−→ GC

)

, ainsi que la va-

leur du rapport GC

GA .

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC?

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

1. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b ; ab)= p, où p est un nombre premier.

a. Démontrer que p divise a2. (On remarquera que a2 = a(a+b)−ab.)

b. En déduire que p divise a.

On constate donc, de même, que p divise b.

c. Démontrer que PGCD(a, b)= p.

2. On désigne par a et b des entiers naturels tels que a6 b.

a. Résoudre le système

{

PGCD(a, b) = 5 PPCM(a, b) = 170

b. En déduire les solutions du système :

{

PGCD(a+b, ab) = 5 PPCM(a, b) = 170

PROBLÈME 11 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. On considère la fonction

f , définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)=−3− lnx+2(lnx)2.

On note (C ) sa courbe représentative.

Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C )

1. a. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation f (x)= 0. (On pourra poser lnx = X ).

b. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’inéquation f (x)> 0.

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Calculer f ′(x).

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) au point d’abs-

cisse e 5 4 .

4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

Pour cela, on considère la fonction ϕ, définie sur ]0 ; +∞[ par :

ϕ(x)= f (x)−

(

4e− 5 4 x

41

8

)

.

a. Montrer que ϕ′(x)= 4lnx−1

x −4e−

5 4 puis calculer ϕ′′(x).

b. Étudier le sens de variation de ϕ′ sur ]0 ; +∞[.

En déduire que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, on a ϕ′(x)6 0.

c. Calculer ϕ (

e 5 4

)

. Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ déterminer le signe

de ϕ(x).

En déduire la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

5. Tracer la courbe (C ) et la droite (T ). (Unité graphique : 2 cm).

Partie B - Calcul d’une aire

1. Vérifier que la fonction h, définie par x 7→ x lnx x, est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞[.

2

2. On pose I1 = ∫e

3 2

1 e

lnx dx et I2 = ∫e

3 2

1 e

(lnx)2 dx.

a. Calculer I1.

b. En utilisant une intégration par parties, montrer que I2 = 5

4 e

3 2 −

5

e .

c. Calculer ∫e

3 2

1 e

f (x)dx. En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des

points M(x ; y) du plan tels que 1

e 6 x 6 e

3 2 et f (x)6 y 6 0.

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