Travaux pratiques de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la loi de probabilité de X.. Calculer l’espérance mathématique de X.
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Asiemars2001.dvi

[ Baccalauréat S Asie juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point de dé- part D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs parcours. La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres d’alti- tude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou atteindre le sommet directement.

La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R1 est égale

à 1

3 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R1 est égale

à 3

4 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R2 est égale

à 2

3 .

5,5 2 6

4 4,5

5 4

S

R3

R1 R2

D

1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu’au sommet S.

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils ont passé la nuit au refuge R1 » ;

E2 « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;

E3 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils ont fait une halte au refuge R3 » ;

E4 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S ».

3. On note d(M , N ) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point M au point N .

On donne d(D, R1) = 5 ; d(D, R2) = 4 ; d(R1, R3) = 4 ; d(R2, R3) = 4,5 ;

d(R3, S) = 2 ; d(R1, S) = 5,5 ; d(R2, S) = 6.

Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les ran- donneurs pour aller du départ D au sommet S.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z 6= − 1) associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −iz−2 z+1

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a =−1, b = 2i et c =−i.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Soit C′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c ′ du point C′ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’affixe d ′ = 1

2 .

3. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z+1| = p) et p ′ le module de z ′+ i (c’est-à-dire |z ′+ i| = p ′). a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp ′ =p

5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alorsM ′ = f (M) appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre com-

plexe ω= z−2i z+1

.

a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.

b. Montrer que z ′ =−iω. c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z ′ soit un réel

non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

5. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité gra- phique.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. On considère l’application f qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM

d’affixe z ′ telle que :

z ′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z.

a. Exprimer ( f f )(z) en fonction de z. b. Montrer que f = R◦S, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on

déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).

c. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe (D1). Réaliser une figure, en y représentant l’axe (D1) (unité graphique 2 cm).

2. On considère l’application g qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′′

d’affixe z ′′ telle que :

z ′′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z− 1

2 + i

p 3

2 .

a. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g .

b. Montrer que g = T ◦ f où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T).

c. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en dé- duire que g est une réflexion, d’axe noté (D2).

d. Quelle est l’image par g du point A d’affixe 1

2 + i

p 3

2 .

En déduire une construction de la droite (D2), qui n’utilise pas son équa- tion, et l’illustrer en complétant la figure précédente.

Asie 2 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction f , définie sur l’intervalle ]- 1 ; +∞[ par :

f (x)= ex

(1+ x)2 .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

⋆ I. Étude de la fonction f et tracé de (C )

1. a. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers +∞. b. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers - 1.

Que peut-on en déduire pour la courbe (C ) ?

2. Calculer f ′(x) et montrer que son signe est celui de x−1 x+1

.

3. Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer la courbe (C ), les droites d’équations respectives x =−1 et y = 1, ainsi que la tangente à cette courbe en son point d’abscisse 0 (unité graphique : 4 cm).

5. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution, notée α, dans l’intervalle [1 ; 10]. Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécu- tifs a et b tels que α appartient à l’intervalle [a ; b].

⋆ II. Calcul d’une aire

1. Soit g la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par g (x)= ex

1+ x .

a. Étudier le sens de variation de g dans l’intervalle [1 ; 2].

b. Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; 2], on a : 16 g (x)6 2,5.

c. En déduire un encadrement de A1 = ∫2

1 g (x)dx.

2. Soit A2 l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x = 2, la courbe (C ) et l’axe des abscisses.

À l’aide d’une intégration par parties, exprimer A2 en fonction de A1, et en déduire un encadrement de A2.

⋆ III. Approximation d’un nombre à l’aide d’une suite

Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l’équation f (x) = x a une

unique solution β et que celle-ci est élément de l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

.

Soit h la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par h(x)= ex

(1+ x)3 .

1. a. Vérifier que, pour tout x appartenant à ]−1 ; +∞[ on a :

f ′(x)= f (x)−2h(x).

b. Calculer h′(x).

c. En utilisant la question a, calculer f ′′(x).

En déduire le sens de variation de f dans l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

En déduire que, pour tout x appartenant à

[

1

2 ; 1

]

on a :

f ′(x) ∣

∣6 1

4 .

Asie 3 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On définit la suite (Un ), pour tout nombre entier naturel n, par U0 = 1 et Un+1 = f (Un) pour n> 0.

On admet que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1

2 6Un 6 1.

(Question hors-programme en 2002).

a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un+1−β

∣6 1

4

∣Un β

∣ .

b. Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un β

∣6

(

1

4

)n

.

c. En déduire une valeur approchée numérique de β à 10−3 près.

Asie 4 juin 2001

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