Travaux pratiques de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d’une fonction, Probabilités, Étude d’une suite.
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[ Baccalauréat S 2001 \

L’intégrale de mars à décembre 2001

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Pondichéry mars 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Antilles-Guyane juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Asie juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Centres étrangers juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Métropole juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Liban juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Polynésie juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Antilles-Guyane septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Métropole septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Polynésie spécialité septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Nouvelle-Calédonie décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Amérique du Sud décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Baccalauréat S L’année 2001

2

[ Baccalauréat série S Nouvelle-Calédonie \ mars 2001

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= ln (

x+ √

x2+9 )

.

et (C ) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Déterminer les images de 0 et de 4 par f , puis l’antécédent de 0 par f .

a. Calculer la limite de f en +∞.

b. Montrer que, pour tout x réel, p x2+9+ x = 9p

x2+9− x et en déduire la

limite de f en −∞.

2. Montrer que, pour tout réel, f ′(x) = 1p x2+9

et en déduire le tableau de va-

riations de la fonction f .

3. On considère la fonction g définie, pour tout x réel, par

g (x)= 1 2 ex − 9

2 e−x

et (C ′) sa représentation graphique dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

a. Démontrer que, pour tout x réel, (g f )(x)= x. On admettra de même que, pour tout x réel, ( f g )(x)= x.

b. En déduire que le point M(x ; y) appartient à (C ) si, et seulement si, le point M ′(y ; x) appartient à (C ′).

c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0 ; ln3].

4. Soit D1 etD2 les domaines définis par :

D1 = {

M(x ; y)

06 x 6 ln3 g (x)6 y 6 0

}

; D2 = {

M(x ; y)

− 46 x6 0 06 y 6 f (x)

}

.

Les domaines D1 et D2 ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d’aire.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère

les points A (1 ; 2 ; 2), B (3 ; 2 ; 1) et C (1 ; 3 ; 3).

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. Donner une équation de ce plan.

2. On considère les plans (P1) et (P2) d’équations respectives :

(P1) : x−2y +2z−1 = 0 ; (P2) : x−3y +2z+2 = 0.

a. Montrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants. On notera (∆) leur droite d’intersection.

b. Montrer que le point C appartient à la droite (∆).

Baccalauréat S L’année 2001

c. Démontrer que le vecteur −→ u (2 ; 0 ; −1) est un vecteur directeur de la

droite (∆).

d. En déduire une représentation paramétrique de la droite (∆).

3. Pour déterminer la distance du point A à la droite (∆) de représentation pa- ramétrique :

x = 2k+1 y = 3 (k ∈R), z =−k+3

on considère le point M de paramètre k de la droite (∆).

a. Déterminer la valeur de k pour que les vecteurs −−→ AM et

−→ u soient orthogo-

naux.

b. En déduire la distance du point A à la droite (∆).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x ; y) tels que P.G.C.D. (x ; y)= y x.

1. a. Calculer le P.G.C.D. (363 ; 484).

b. Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?

2. Soitn unentier naturel nonnul ; le couple (n ; n+1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x ; y) appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k+1)(y x).

b. En déduire que, pour tout couple (x ; y) de S, on a :

P.P. C.M. (x ; y)= k(k+1)(y x). 4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b. En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que P.P.C.M. (x ; y) = 228.

PROBLÈME 10 points

Il est possible que certains des résultats, à démontrer dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l’écran de votre calculatrice graphique.

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ par :

f (x)= 10(x−8) x(x−1)

et ondésignepar (C ) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b. Déterminer les limites de f quand x tend vers 1 par valeurs inférieures et

quand x tend vers 1 par valeurs supérieures.

c. En déduire les asymptotes à la courbe (C ).

2. a. Déterminer la dérivée f ′ de la fonction f .

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. Montrer que f ′(x) s’annule pour α= 8+2 p 14 et pour β= 8−2

p 14.

c. Dresser le tableau de variation de f

3. Soit I le point de la courbe (C ) d’abscisse 1

2 .

a. Déterminer une équation de la droite (∆) tangente en I à la courbe (C ).

b. Montrer que le point L, intersection de la courbe (C ) avec son asymptote horizontale, appartient à la droite (∆).

c. Représenter la partie de la courbe (C ) pour les valeurs de x strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 3 cm en ordon- née).

4. a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x élément de l’intervalle

]1 ; +∞[, on ait f (x)= a x + b

x−1 .

b. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 8. Calculer, en unités d’aire, en fonction de λ, l’aire A (λ) du domaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x =λ.

c. Calculer la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞.

Partie B

Probabilités

Une urne contient n boules (n > 8) dont 3 jaunes et 5 vertes. Les autres boules sont rouges. I. Étude d’un cas particulier : n = 16. Il y a donc 8 boules rouges.

1. On tire une boule de l’urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

— A : « On obtient deux boules rouges », — B : «On obtient une boule rouge puis une boule verte ou une boule verte

puis une boule rouge », — C : «On obtient une boule rouge puis une boule jaune ou une boule jaune

puis une boule rouge », — D : « On obtient au moins une boule rouge ».

2. On effectue maintenant un tirage simultané de deux boules de l’urne. Déterminer la probabilité des évènements :

— A′ « On obtient deux boules rouges », — B′ « On obtient une boule rouge et une boule verte ».

II. n quelconque (n > 8) Il y a donc (n−8) boules rouges. 1. Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l’urne, on note

sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule. Dé- terminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une boule rouge ».

2. On revient au tirage simultané de deux boules :

a. Déterminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir deux boules rouges ».

b. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement : « Obtenir une boule rouge et une boule verte ».

c. En utilisant les variations de la fonction f étudiée dans la partie A, indi- quer les valeurs de n qui rendent pn maximum, puis indiquer la valeur de ce maximum.

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2001

[ Baccalauréat S Pondichéry mai 2001 \

EXERCICE 1 4 points

1. On pose, pour tout entier naturel n non nul,

In = 1

n!

∫1

0 (1− x)ne−xdx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul,

06 In 6 1

n!

∫1

0 e−xdx.

En déduire lim n→+∞

In .

c. Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na- turel n non nul, on a :

In+1 = 1

(n+1)! − In

2. On considère la suite réelle (an), définie surN∗ par a1 = 0 et, pour tout entier naturel n non nul,

an+1 = an + (−1)n+1

(n+1)! .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

an = 1

e + (−1)n In .

b. En déduire lim n→+∞

an .

EXERCICE 2 4 points

On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe

f (z)= 2− iz 1− z

.

L’exercice étudie quelques propriétés de f .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique

2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1 et 2. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i.

1. On pose z = x+ iy avec x et y réels. Écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’af- fixe z tels que f (z) soit un réel et représenter cet ensemble.

2. On pose z ′ = f (z). a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z ′ différent de

i, z en fonction de z ′.

b. M est le point d’affixe z (z différent de 1) etM ′ celui d’affixe z ′ (z ′ différent de i).

Montrer que OM = M ′C

M ′D où C et D sont les points d’affixes respectives 2

et i.

Baccalauréat S L’année 2001

c. Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

d. Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD).

EXERCICE 2 (SPÉCIALITÉ) 4 points

1. On considère l’équation (1) d’inconnue (n, m) élément de Z2 :

11n−24m = 1.

a. Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solution.

b. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1).

c. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

2. recherche du P.G.C.D. de 1011−1 et 1024−1. a. Justifier que 9 divise 1011−1 et 1024−1. b. (n, m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de

(1), montrer que l’on peut écrire

(

1011n −1 )

−10 (

1024m −1 )

= 9.

c. Montrer que 1011−1 divise 1011n −1. (on rappelle l’égalité an −1 = (a−1)

(

an−1+an−2+·· ·+a0 )

, valable pour tout entier naturel n non nul).

Déduire de la question précédente l’existence de deux entiers N etM tels que :

(

1011−1 )

N − (

1024−1 )

M = 9.

d. Montrer que tout diviseur commun à 1024−1 et 1011−1 divise 9. e. Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 1024−1 et 1011−1.

PROBLÈME 12 points

Dans tout le problème, (C ) désigne la courbe d’équation y = lnx représentant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’ori- gine O et d’unité graphique 4 cm. Question préliminaire : Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe (C ) et la droite (D) d’équation y = x.

Partie A

1. a. Déterminer une équation de la tangente (∆) à (C ) au point I d’abscisse 1.

b. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= x−1− lnx.

c. En déduire la position de (C ) par rapport à ∆.

2. a. Déduire de la question précédente la valeur minimale prise par x − lnx sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Pondichéry 7 mai 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. M et N sont les points demême abscisse x des courbes (C ) et (D) respec- tivement.

Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distance MN lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie B

1. Soit M le point d’abscisse x de la courbe (C ). Exprimer la distance OM de l’origine àM en fonction de x.

2. Étude de la fonction auxiliaire u définie sur ]0 ; +∞[ par u(x)= x2+ lnx. a. Justifier les limites de u(x) en 0 et en +∞ ainsi que le sens de variations

de u.

b. Montrer qu’il existe un réel α et un seul tel que u(α)= 0. Montrer que α est compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

c. Déterminer le signe de u(x) suivant la valeur de x.

3. Étude de la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g (x)= x2+ (lnx)2.

Calculer g ′(x) et vérifier que g ′(x)= 2 x u(x).

En déduire le tableau de variations de g .

4. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courte distance de l’origine aux points de la courbe (C ) et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pour α la valeur centrale de l’encadrement trouvé à la question 2. b.

5. A étant le point d’abscisse α de (C ), démontrer que la tangente en A est per- pendiculaire à la droite (OA).

Partie C Étude d’une suite

1. Montrer que le réel α défini dans la partie B est solution de l’équation h(x)= x, où h est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

h(x)= x− 1 4

(

x2+ lnx )

.

2. a. Calculer h′(x) et étudier son signe sur l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

.

b. Prouver que h ([ 1

2 ; 1 ])

⊂ [1 2 ; 1

]

.

c. Calculer h′′(x) et étudier son signe sur l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

.

d. En déduire que, pour tout x appartenant à l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

, on a

06 h′(x)6 0,3.

3. On définit la suite (un) par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

un+1 = h (un ) . a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 12 6 un 6 1, et que la suite (un)

est décroissante.

b. Attention, cette question n’est plus au nouveau programme du baccalau- réat S. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que l’on a pour tout entier naturel n, |un+1−α|6 0,3|un α| puis que |un α|6 12 (0,3)

n .

c. En déduire que la suite (un ) converge vers α.

d. Déterminer un entier n0 tel que un0 soit une valeur approchée deα à 10 −5

près et indiquer la valeur de un0 donnée par la calculatrice (avec 5 déci- males).

Pondichéry 8 mai 2001

[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les trois

points A (2 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 0) et C(3 ; 2 ; 6). (D) est la droite passant par A et de vecteur

directeur −→ u (0 ; 1 ; 1) et (∆) la droite passant par C et de vecteur directeur

−→ v (1 ; −2 ; 2).

1. Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et (∆) puis montrer que (D) et (∆) sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du vecteur −→ w =−−→AB∧−−→AC (questionhors programme

en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le projeté orthogonal du point F(2 ; 4 ; 4) sur le plan (ABC).

a. Expliquer pourquoi il existe un réel k non nul tel que −−→ FH = k−→w .

b. Déterminer la valeur de k et en déduire les coordonnées de H.

c. Calculer le volume du tétraèdre FABC.

Exercice 2 4 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le polynôme P défini par :

P (z)= z4−6z3+24z2−18z+63. 1. Calculer P

(

i p 3 )

et P (

− i p 3 )

puis montrer qu’il existe un polynômeQ du se- cond degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈C, on ait P (z)=

(

z2+3 )

Q(z).

2. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0. 3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal

(

O, −→ u ,

−→ v )

, les

points A, B, C, D d’affixes respectives zA = i p 3, zB = − i

p 3, zC = 3+2i

p 3 et

zD = zC, puismontrer que ces quatre points appartiennent à unmême cercle. 4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que

zC− zB zE− zB

= e− iπ3

puis déterminer la nature du triangle BEC.

EXERCICE 2 4 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier relatif n, les entiers 14n+3 et 5n+1 sont pre- miers entre eux.

2. On considère l’équation (E) : 87x+31y = 2 où x et y sont des entiers relatifs. a. Vérifier, en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers

entre eux. Endéduire un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87u+31v = 1 puis une solution (x0 ; y0) de (E).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E) dans Z2.

c. Application : Déterminer les points de la droite d’équation

87x −31y −2 = 0 dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100.

Indication : On remarquera que le point M de coordonnées (x ; y) appar- tient à la droite (D) si, et seulement si, le couple (x ; −y) vérifie l’équation (E).

Baccalauréat S L’année 2001

PROBLÈME 12 points

Le but de ce problème est d’étudier dans la partie A la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= x+ 1

x + lnx

x2 ,

de déterminer ensuite dans la partie B. la position de sa courbe représentative par rapport à son asymptote oblique et enfin d’étudier une suite récurrente dans la par- tie C., cette dernière partie étant, dans une large mesure, indépendante des deux autres.

Partie A

1. Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x3− x−2lnx+1.

a. Montrer que la fonction g est dérivable et que, pour tout x ∈]0 ; +∞[,

g ′(x)= (x−1)(3x 2+3x+2) x

.

b. Étudier les variations de la fonction g puis déterminer le signe de g (x).

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Montrer que, pour tout x ∈]0 ; +∞[, f ′(x)= g (x) x3

puis donner le tableau

de variations de f .

Partie B

(Γ) désigne la représentation graphiquede la fonction f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, unité graphique 2 cm.

1. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x)= x+ lnx. a. Étudier le sens de variation de h, puis montrer que l’équation h(x) = 0

admet une solution unique α sur l’intervalle [0,4 ; 0,7].

b. Montrer que l’on a : e− α =α. 2. a. Vérifier que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à (Γ) en

+ ∞. b. Utiliser les résultats de la question 1 a pour déterminer les positions rela-

tives de (Γ) et (∆).

3. Construire (Γ) et (∆) dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

4. a. Calculer, au moyen d’une intégration par parties, l’intégrale I

I= ∫2

1

ln t

t2 dt .

b. En déduire l’aire, en cm2, de la portion de plan limitée par la courbe (Γ), la droite (∆) et les droites parallèles à l’axe des ordonnées d’équations x = 1 et x = 2.

Partie C

Étude d’une suite (hors-programme en 2002) Dans cette partie :

* I désigne l’intervalle [0,4 ; 0,7] ;

Amérique du Nord 10 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

* α est le réel mis en évidence au B 1 ; * ϕ est la fonction définie sur R par ϕ(x)= e− x ;

* u est la suite récurrente définie par

{

u0 = 0,4 un+1 = ϕ(un )

1. Montrer qu’on a, pour tout x I . a. ϕ(x) ∈ I. b. |ϕ′(x)|6 0,7. c. |ϕ(x)−α|6 0,7|xα|.

2. a. Montrer qu’on a, pour tout n ∈ N, |un+1−α| 6 0,7 |un α|, puis en dé- duire par récurrence qu’on a, pour tout n ∈N,

|un α|6 0,3× (0,7)n .

b. Conclure alors quant à la convergence de la suite u.

3. Déterminer un entier p tel que, pour n > p, on ait |un α|6 10−3, puis don- ner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de up à 10−3 près.

Amérique du Nord 11 juin 2001

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1

50 ou bien ne rien gagner.

G désigne l’évènement : « Le joueur gagne au grattage ». Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200 euros, ou bien ne rien gagner. Li désigne l’évènement « Le joueur gagne 100 euros à la loterie ». L2 désigne l’évènement « Le joueur gagne 200 euros à la loterie ». P désigne l’évènement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ». Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie

est 1

70 , et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est

1

490 .

1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette va- leur.

c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

2. OnnoteX la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

La probabilité de l’évènement « X = 90 » est 2

125 .

La probabilité de l’évènement « X = 190 » est 1

250 .

a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sa-

chant qu’il a gagné 100 euros au grattage, est égale à 1

10 .

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage.

c. Déterminer la loi de probabilité de X.

Calculer l’espérance de X.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on désigne par M(z) le

point M ayant pour affixe z.

1. Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C(−4+3i) et D(−8), en prenant 1 cm pour unité graphique.

2. Soit f la transformation duplan qui, à tout pointM(z), associe le pointM ′ (z ′) tel que :

z ′ = (1+2i)z−4−2i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

b. Montrer que f admet un unique point fixe Ω, dont on précisera l’affixe ω (M est un point fixe pour f si, et seulement si, f (M)=M).

Baccalauréat S L’année 2001

3. On admet que ω= 1−2i. Soit M un point quelconque et M ′ son image par f . a. Montrer que, pour tout complexe z on a : z ′− z = 2i(w z).

Dans toute la suite, M est différent deΩ.

b. Déduire de la questionprécédente le rapport des distances MM

M , et l’angle

de vecteurs ( −−−→ MΩ ,

−−−−→ MM ′ ).

c. Déduire des questions précédentes une construction géométriquedupoint M ′, connaissant le point M .

Réaliser cette construction sur la figure de la question 1)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

l

l

L

1. Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l , où l et L sont des entiers naturels non nuls tels que l < L. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l’arête a est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d’espace vide).

a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus grande valeur possible pour a ?

Quelles sont les valeurs possibles pour a ?

b. Dans cette question, le volume de la boîte B est v = 77760. On sait que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12.Montrer qu’il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimen- sions.

2. On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la ques- tion 1 (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d’espace vide).

a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus petite arête c pour la caisse C ?

Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ?

b. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15435. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105.

Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B ?

PROBLÈME 11 points

Antilles-Guyane 13 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

Commun à tous les candidats

Partie A

Résolution de l’équation différentielle (1) : y ′−2y = xex

1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y ′−2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par

u(x)= (ax+b)ex .

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).

b. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u+ v est solution de (1).

c. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Partie B

Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par g (x)= 2ex x−2. 1. Déterminer la limite de g en -∞ et la limite de g en +∞. 2. Étudier le sens de variation de g , puis dresser son tableau de variations.

3. On admet que l’équation g (x)= 0 a exactement deux solutions réelles. a. Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.

b. L’autre solution est appelée α. Montrer que −1,66α6−1,5. 4. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs du réel x.

Partie C

Étude de la fonction principale

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= e2x − (x+1)ex

1. Déterminer la limite de f en −∞ et la limite de f en +∞. (On pourra mettre e2x en facteur.)

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) et g (x) ont le même signe.

Étudier le sens de variation de f

3. Montrer que f (α)=− α2+2α

4 où α est défini dans la partie B.

En déduire un encadrement de f (α).

(On rappelle que −1,66α6−1,5.) 4. Établir le tableau de variations de f

5. Tracer la courbe (C ), représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

Partie D

Calcul d’aire

Antilles-Guyane 14 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soitm un réel négatif. Interpréter graphiquement l’intégrale ∫0

m f (x)dx. (On

justifiera la réponse.)

2. a. Calculer ∫0

m xex dx, à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire ∫0

m f (x)dx.

3. Calculer la limite de ∫0

m f (x)dx, lorsquem tend vers −∞.

Antilles-Guyane 15 juin 2001

[ Baccalauréat S Asie juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point de dé- part D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs parcours. La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres d’alti- tude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou atteindre le sommet directement.

La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R1 est égale

à 1

3 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R1 est égale

à 3

4 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R2 est égale

à 2

3 .

5,5 2 6

4 4,5

5 4

S

R3

R1 R2

D

1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu’au sommet S.

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils ont passé la nuit au refuge R1 » ;

E2 « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;

E3 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils ont fait une halte au refuge R3 » ;

E4 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S ».

3. On note d(M , N ) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point M au point N .

On donne d(D, R1) = 5 ; d(D, R2) = 4 ; d(R1, R3) = 4 ; d(R2, R3) = 4,5 ;

d(R3, S) = 2 ; d(R1, S) = 5,5 ; d(R2, S) = 6.

Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les ran- donneurs pour aller du départ D au sommet S.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z 6= − 1) associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −iz−2 z+1

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a =−1, b = 2i et c =−i.

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soit C′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c ′ du point C′ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’affixe d ′ = 1

2 .

3. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z+1| = p) et p ′ le module de z ′+ i (c’est-à-dire |z ′+ i| = p ′). a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp ′ =p

5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alorsM ′ = f (M) appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre com-

plexe ω= z−2i z+1

.

a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.

b. Montrer que z ′ =−iω. c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z ′ soit un réel

non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

5. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité gra- phique.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. On considère l’application f qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM

d’affixe z ′ telle que :

z ′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z.

a. Exprimer ( f f )(z) en fonction de z. b. Montrer que f = R◦S, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on

déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).

c. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe (D1). Réaliser une figure, en y représentant l’axe (D1) (unité graphique 2 cm).

2. On considère l’application g qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′′

d’affixe z ′′ telle que :

z ′′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z− 1 2 + i

p 3

2 .

a. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g .

b. Montrer que g = T ◦ f où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T).

c. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en dé- duire que g est une réflexion, d’axe noté (D2).

Asie 17 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

d. Quelle est l’image par g du point A d’affixe 1

2 + i

p 3

2 .

En déduire une construction de la droite (D2), qui n’utilise pas son équa- tion, et l’illustrer en complétant la figure précédente.

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction f , définie sur l’intervalle ]- 1 ; +∞[ par :

f (x)= e x

(1+ x)2 .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

⋆ I. Étude de la fonction f et tracé de (C )

1. a. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers +∞. b. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers - 1.

Que peut-on en déduire pour la courbe (C ) ?

2. Calculer f ′(x) et montrer que son signe est celui de x−1 x+1

.

3. Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer la courbe (C ), les droites d’équations respectives x =−1 et y = 1, ainsi que la tangente à cette courbe en son point d’abscisse 0 (unité graphique : 4 cm).

5. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution, notée α, dans l’intervalle [1 ; 10]. Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécu- tifs a et b tels que α appartient à l’intervalle [a ; b].

⋆ II. Calcul d’une aire

1. Soit g la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par g (x)= e x

1+ x .

a. Étudier le sens de variation de g dans l’intervalle [1 ; 2].

b. Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; 2], on a : 16 g (x)6 2,5.

c. En déduire un encadrement de A1 = ∫2

1 g (x)dx.

2. Soit A2 l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x = 2, la courbe (C ) et l’axe des abscisses.

À l’aide d’une intégration par parties, exprimer A2 en fonction de A1, et en déduire un encadrement de A2.

⋆ III. Approximation d’un nombre à l’aide d’une suite

Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l’équation f (x) = x a une unique solution β et que celle-ci est élément de l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

.

Soit h la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par h(x)= e x

(1+ x)3 .

1. a. Vérifier que, pour tout x appartenant à ]−1 ; +∞[ on a :

f ′(x)= f (x)−2h(x).

b. Calculer h′(x).

Asie 18 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

c. En utilisant la question a, calculer f ′′(x).

En déduire le sens de variation de f dans l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

En déduire que, pour tout x appartenant à

[

1

2 ; 1

]

on a :

f ′(x) ∣

∣6 1

4 .

2. On définit la suite (Un ), pour tout nombre entier naturel n, par U0 = 1 et Un+1 = f (Un) pour n> 0.

On admet que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1

2 6Un 6 1.

(Question hors-programme en 2002).

a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un+1−β

∣6 1

4

∣Un β

∣ .

b. Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un β

∣6

(

1

4

)n

.

c. En déduire une valeur approchée numérique de β à 10−3 près.

Asie 19 juin 2001

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2001 \

EXERCICE 1 5 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Le directeur d’unmusée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition. Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d’imaginer le parcours d’un vi- siteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes :

• Le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine. • Pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable n’importe quelle

autre porte que celle qu’il a utilisée pour entrer. Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre pre- mières salles traversées, l’entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, com- mençant par la lettre E. Par exemple :

• Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF.

• Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.

Entrée B

D

F G

A

E C

T

1. On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes.

a. Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.

b. Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est 1

6 .

c. Déterminer la probabilité p1 de l’évènement : « La quatrième salle du tra- jet est F ».

d. Pour des raisons techniques, le directeur installe les ?uvres les plus inté- ressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité p2 de l’évènement « Le trajet passe par la salle T ».

2. Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T.

Baccalauréat S L’année 2001

a. Calculer la probabilité de l’évènement (X = 1).

b. Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi aumillième.)

c. Le directeur décide d’obliger les visiteurs à se diriger, après l’entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T. Prouver qu’il a tort.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique 4 cm),

dans lequel on considère les points A (2 ; 0), B(0 ; 2) et C(−2 ; −2). 1. Soient a, b et c les nombres définis pour t réel par :

a = −1 2 sin2t + 2

3 cos t + 2

3 b = sin2t

1

3 cos t +

2

3 c = −1

2 sin2t − 1

3 cos t + 2

3

a. Démontrer que, pour tout réel t , il existe un barycentre, notéG(t), du sys- tème de points pondérés {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}.

b. Montrer que, pour tout réel t , les coordonnées du point G(t) sont :

x(t)= cos t et y(t)= 3 2 sin2t .

Lorsque le paramètre t varie, ce barycentre décrit une courbe (Γ), que l’on se propose d’étudier.

2. Étude des symétries de la courbe (Γ)

a. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(t +2π). b. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(−t). c. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(πt). d. Déduire de ce qui précède, en justifiant la démarche, un intervalle d’étude

approprié pour les fonctions x et y .

3. a. Étudier le sens de variation de chacune des fonctions x et y sur l’intervalle [

0 ; π

2

]

et les faire apparaître dans un même tableau.

b. Placer les points de (Γ) correspondant aux valeurs du paramètre 0, π

4 et

π

2 et tracer les tangentes à la courbe (Γ) en ces points.

c. Tracer la partie de (Γ) obtenue lorsque t appartient à l’intervalle [

0 ; π

2

]

puis tracer (Γ) complètement. (Hors-programme en 2002)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Un astronome a observé au jour J0 le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 + 6), il observe le corps B, dont la période d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simul- tanée des deux objets aux yeux de l’astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J1.

Centres étrangers 21 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1. Montrer que le couple (u ; v) est solution de l’équation (E1) :

35x−27y = 2. 2. a. Déterminer un couple d’entiers relatifs (x0 ; y0) solution particulière de

l’équation (E2) :

35x−27y = 1.

b. En déduire une solution particulière (u0 ; v0) de (E1).

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation (E1).

d. Déterminer la solution (u ; v) permettant de déterminer J1.

3. a. Combien de jours s’écouleront entre J0 et J1 ?

b. Le jour J0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J1 ? (L’année 2000 était bissextile.)

c. Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu’à la prochaine conjonction des deux astres ?

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Les objectifs du problème sont de déterminer une solution particulière d’une équa- tion différentielle (partie A), d’étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).

Partie A

On appelle (E) l’équation différentielle : y ′′− y = 0, où y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels.

1. Déterminer les réels r tels que la fonction h, définie par h(x)= er x , soit solu- tion de (E).

2. Vérifier que les fonctions ϕ définies par ϕ(x) = αex +βe−x , où α et β sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admet qu’on obtient ainsi toutes les solutions de (E).

3. Déterminer la solutionparticulière de (E) dont la courbe représentative passe

par le point de coordonnées

(

ln2 ; 3

4

)

et admet en ce point une tangente dont

le coefficient directeur est 5

4 .

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par :

f (x)= 1 2

(

ex −e−x )

.

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Soit µ un réel. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= µ équivaut à e2x −2µex −1= 0. En déduire que l’équation f (x)=µ a une unique solution dans R et détermi- ner sa valeur en fonction de µ.

2. a. Déterminer les limites de f en - ∞ et en + ∞. b. Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation

de f sur R.

Centres étrangers 22 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.

b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur R par d(x)= f (x)− x, préciser la position de (C ) par rapport à (T).

c. Tracer (C ) et (T) (unité graphique : 2 cm).

4. Soit D la partie représentant sur le graphique l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que :

{

0 6 x 6 1 x 6 y 6 f (x)

Calculer, en cm2 l’aire de D.

Partie C

On cherche à caractériser les fonctions ϕ, dérivables sur l’ensemble des nombres réels, telles que, pour tout réel x :

ϕ(x)− ∫x

0 (xt)ϕ(t)dt = x (H).

1. On suppose qu’il existe une telle fonction ϕ.

a. Montrer que, pour tout nombre réel x,

ϕ(x)= x+ x x

0 ϕ(t)dt

x

0 (t)dt .

Calculer ϕ(0).

b. Démontrer que, pour tout nombre réel x, ϕ′(x)= 1+ ∫x

0 ϕ(t)dt .

Calculer ϕ′(0).

c. Vérifier que ϕ est une solution de l’équation différentielle (E) de la par- tie A. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question A 2.

2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫x

0 t (

et −e−t )

dt .

b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1 c vérifie bien la relation (H).

Centres étrangers 23 juin 2001

[ Baccalauréat S Métropole juin 2001 \

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Soient trois points de l’espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On noteGk le barycentre du système

{(

A, k2+1 )

, (B, k), (C, −k) }

.

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que, pour tout réel k de l’intervalle [−1 ; 1], on a l’égalité :

−−−→ AGk =−

k

k2+1 −−→ BC .

b. Établir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par

f (x)=− x

x2+1 .

c. En déduire l’ensemble des pointsGk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1]. Pour la suite de l’exercice, aucune figure n’est demandée sur la copie.

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +−−→MB −−−→MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −−−→MB +−−→MC

∥ .

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +−−→MB −−−→MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −−−→MB −−−→MC

∥ .

5. L’espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et

(−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles (E) et (F) sont définis comme ci- dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1.

Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle C intersection de (E) et (F).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

[unité gra-

phique : 6 cm].

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par α0 = π

2 et, pour tout entier

naturel n, αn+1 = αn + 5π

6 . Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du

cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle (−→ u ,

−−−−→ OMn

)

ait pour mesure αn .

1. Placer les douze points M0, M1, M2, . . ., M11.

2. On appelle zn l’affixe de Mn . Montrer que, pour tout entier naturel n, on a

l’égalité : zn = ei (

π 2 +

512

)

.

3. a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

Baccalauréat S L’année 2001

• les points Mn etMn+6 sont diamétralement opposés ; • les points Mn etMn+12 sont confondus.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité zn+4 = e− 2iπ 3 zn .

En déduire que la distance MnMn+4 vaut p 3 puis que le triangle

MnMn+4Mn+8, est équilatéral.

On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme MnMn+4Mn+8.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marquésM0, M1, M2, · · · , M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois sommets d’un triangle équilatéral.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

[unité graphique :

6 cm]. On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = ze 5iπ6 et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : M0 a pour affixe z0 = ei

π 2 et, pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn).

On appelle zn l’affixe deMn .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f .

Placer les points M0, M1, M2.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l’égalité

zn = ei (

π 2 +

56

)

(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p. Montrer que deux points Mn etMp sont confondus si, et seulement si, (np) est multiple de 12.

4. a. On considère l’équation (E) : 12x−5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l’équation (E).

b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels queMn appartienne à la demi-droite [Ox).

PROBLÈME 9 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. Toutes les courbes

demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

Partie A

⋆ Étude d’une fonction f

On définit la fonction f sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln (p

1+ x−1 )

.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. 2. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.

Métropole 25 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

3. Soit (C ) la courbe représentative de f dans (

O, −→ u ,

−→ v )

et A le point de C

d’abscisse 3.

Calculer l’ordonnée de A. Soit B le point deC d’abscisse 5

4 , P le projeté ortho-

gonal de B sur l’axe (

O ; −→ u )

et H le projeté orthogonal de B sur l’axe (

O ; −→ v )

.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer

les points A, B, P et H dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

et représenter la courbe (C ).

Partie B

⋆Utilisation d’une rotation

Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 . À tout point M du plan d’affixe z la rota-

tion r associe le point M ′ d’affixe z ′.

1. a. Donner z ′ en fonction de z.

On note z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ (x, y, x′, y ′ réels). Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y , puis exprimer x et y en fonction de x′ et y ′.

b. Déterminer les coordonnées des points A′, B′ et P′ images respectives des points A, B et P par la rotation r .

2. On appelle g la fonction définie sur R par g (x)= e−2x +2e−x et (Γ) sa courbe représentative dans le repère

(

O, −→ u ,

−→ v )

.

a. Montrer que lorsqu’un point M appartient à (C ), son image M ′ par r ap- partient à (Γ). On admet que lorsque le point M décrit (C ), le point M ′ décrit (Γ).

b. Tracer sur le graphique précédent les points A′, B′, P′ et la courbe (Γ) (l’étude des variations de g n’est pas demandée).

Partie C ⋆ Calcul d’intégrales

On rappelle que l’image d’un domaine plan par une rotation est un domaine plan demême aire.

1. Calculer l’intégrale ∫ln2

0 g (x)dx.

Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. a. Déterminer, en unités d’aire, l’aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l’arc de courbe (C ) d’extrémités B et A.

b. On pose I = ∫3

5 4

ln (p

1+ x −1 )

dx.

Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de l’in- tégrale I.

Métropole 26 juin 2001

[ Baccalauréat S Liban juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades c1, c1, c2, c3, c4, c5.

Partie A

Chaquematin, chacunedes familles tire auhasard, indépendamment l’unede l’autre, un des cinq circuits.

1. Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l’ensemble des deux familles ?

2. Quelle est la probabilité pour qu’elles fassent le même jour, le même circuit ?

3. Quelle est la probabilité pour que pendant n jours consécutifs, elles ne se trouvent janais sur le même circuit ?

4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trou- ver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9.

Partie B

On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque fa- mille élimine de son tirage le circuit qu’elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour chacune des deux familles. On note : E l’évènement « les deux familles font le même circuit le premier jour ». F l’évènement « les deux familles font le même circuit le deuxième jour ». Calculer les probabilités suivantes :

P(E) , P(F/E) , P(F/E) puis P(F ∩ E) et P(F ∩E). En déduire P(F).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on consi-

dère les points A et B d’affixes respectives zA = 3 + i et zB = 1+2i.

1. Exprimer le complexe zB zA

sous forme algébrique puis sous forme trigonomé-

trique.

2. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

)

.

Partie B

Désormais on considère l’espace muni du repère orthonormal direct (O, −→ u ,

−→ v ,

−→ w )

où −→ w =−→u ∧−→v .

On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et D(0, 0, d) où d désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABCD.

1. On pose −→ N =−−→AB ∧−−→AC .

a. Calculer les coordonnées de N .

b. En déduire l’aire du triangle ABC.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Baccalauréat S L’année 2001

3. On note H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

a. On pose −−→ DH =λ−→N .

Calculer λ en fonction de d .

b. En déduire l’expression de la distance DH .

Montrer que le volume du tétraèdre ABCD est Vd = 2d +5

6 .

4. Déterminer pour quelle valeur ded la droite (DB) est perpendiculaire auplan (ABC).

5. On suppose que d = 0 . Calculer la distance de A au plan (OBC).

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct (

Ω ; −→ u ,

−→ v )

, unité gra-

phique 3 cm.

Partie A

Soit trois droites D1, D2 et D3, sécantes en Ω et de vecteurs directeurs respectifs −→ d1 =

−→ u , et

−→ d2 et

−→ d3 supposés unitaires et tels que

(−→ d1 ,

−→ d2

)

= π

4 et

(−→ d1 ,

−→ d3

)

=− 2π

3 .

On note S1, S2 et S3 les réflexions d’axes respectifs D1, D2 et D3, et f la composée S3◦ S2 ◦S1, de ces trois réflexions.

1. Tracer ces trois droites.

2. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma- tion r = S2 ◦S1.

b. Caractériser la réflexion S telle que r = S3 ◦ S . On notera D l’axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur

−→ d . Tracer la droite D.

c. En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques.

3. Justifier que le point E d’affixe zE = e iπ 12 est un point de la droite D.

Déterminer les nombres complexes a et b tels que la forme complexe de f soit l’application f1 définie sur C par f1(z)= az+b.

Partie B

1. Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S1 et C l’image de B par S2 . Placer les points B et C .

2. Démontrer que A est l’image de C par S3.

3. Que peut-on dire du point Ω pour le triangle ABC?

Liban 28 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

PROBLÈME 5 points

Partie A - Lectures graphiques

1

2

0 1 2 3 4−1 F

C

On donne dans un repère orthogonal les courbes C et F représentatives de deux fonctions définies et dérivables sur R. On sait que l’une de ces fonctions est la fonc- tion dérivée de l’autre, on peut donc les noter g et g ′.

1. Associer à chacune des fonctions g et g ′ sa représentation graphique. On jus-

tifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur l’intervalle

[

− 3

2 ; 5

]

le signe de g ′(x) et les variations de g .

2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse 0 ?

Partie B

Soit l’équation différentielle (E) : y ′+ y = 2(x+1)e−x .

1. Montrer que la fonction f0 définie sur R par f0(x)= (x2+2x)e−x est une solu- tion de l’équation (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E’) : y ′+ y = 0. 3. Soit u une solution de (E’) . Montrer que la fonction f0+u est une solution de

(E).

On admettra que, réciproquement, toute solution f de (E) est de la forme

f = f0+u u est une solution de (E’). En déduire, pour x ∈R , l’expression de f (x) lorsque f est solution de (E).

4. Sachant que la fonction g de la partie A est solution de (E) , déterminer g (x) pour x ∈R.

5. Déterminer la solution h de l’équation (E) dont la représentation graphique admet au point d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.

Partie C

Soit f la fonction numérique définie sur R par : f (x)= (x2+2x+2)e−x . 1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞ . 2. On sait que f est dérivable sur R : déterminer sa fonction dérivée et étudier

son signe. Donner le tableau de variation de f .

Liban 29 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

3. Dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, unité graphique 2 cm, on note C′ la

représentation graphique de f .

a. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C’ au point Ω d’abscisse −1.

b. Tracer avec soin la courbe C′ et la tangente T dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

4. a. Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction F définie par F (x)= (ax2+bx+c)e−x soit une primitive de la fonction f .

b. Soitα un réel positif. Calculer en cm2 l’aire notéeA (α) de la zone du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C′ et les droites d’équations respectives x = 0 et x =α.

Liban 30 juin 2001

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2001 \

EXERCICE 1 5 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique 2 cm, on considère les points A et B, d’affixes respectives zA = - 1 et zB = 3i. Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui à tout point M d’affixe z associe

le point M ′ d’affixe z ′ tel que : z ′ = i (

z−3i z+1

)

(1).

1. Soit C le point d’affixe zC = 2− i. Montrer qu’il existe un seul point D tel que f (D) = C.

2. Déterminer la nature du triangle ABC.

3. À l’aide de l’égalité (1), montrer que, pour tout M distinct de A et de B :

OM ′ = BM et ( −→ u ,

−−−→ OM ′ )=

π

2 + (−−→MA , −−→MB ) (modulo 2π).

4. En déduire et construire les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M tels que l’image M ′ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1.

b. L’ensemble F des points M tels que l’affixe deM ′ soit réelle.

5. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

2 .

On note C1 l’image de C par R.

a. Déterminer l’affixe de C1.

b. Montrer que C1 appartient à l’ensemble F.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Une boîte contient 8 cubes :

1 gros rouge et 3 petits rouges 2 gros verts et 1 petit vert

1 petit jaune

Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur). Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On note A l’évènement : « obtenir des cubes de couleurs différentes » et B l’évènement : « obtenir au plus un petit cube ».

a. Calculer la probabilité de A.

b. Vérifier que la probabilité de B est égale à 2

7 .

2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l’enfant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X.

3. L’enfant répète n fois l’épreuve « tirer simultanément trois cubes de la boîte », en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note Pn la probabilité que l’évènement B soit réalisé au moins une fois.

a. Déterminer Pn en fonction de n.

b. Déterminer le plus petit entier n tel que Pn > 0,99.

Baccalauréat S L’année 2001

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x+10y = 1. a. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à

l’équation (E).

b. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l’équation (E’) : 91x+10y = 412.

c. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E′′) A3x+ A2y = 3296.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E′′).

b. Montrer que (E′′) admet pour solution un couple unique d’entiers natu- rels.

Le déterminer.

PROBLÈME 11 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Dans tout le texte e désigne le nombre réel qui vérifie ln e = 1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx+ xe x2

.

On note Γ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique : 2 cm.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)=−2lnxxe+1.

1. Déterminer les limites de g en 0 et en + ∞. 2. Étudier le sens de variation de g .

3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l’équation g (x)= 0 admet une solution et une seule notée α. Déterminer un encadrement de α à 0,1 près.

4. En déduire le signe de g (x) selon les valeurs de x.

Partie B : Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Soit f ′ la fonction dérivée de f . Vérifier que f ′(x)= g (x)

x3 puis étudier le sens

de variation de f sur ]0 ; +∞[.

3. Montrer que f (α)= 1+αe 2α2

.

4. Donner le tableau de variations de f .

5. Construire Γ.

Polynésie 32 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

Partie C : Intégrale et suite

Soit In = ∫en+1

en

ln t

t2 dt et An =

∫en+1

en f (t)dt pour tout entier naturel n.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que :

In = n+1 en

n+2 en+1

.

2. a. Montrer que An = In+ e. b. Calculer I0 et A0.

c. Donner une interprétation géométrique de A0.

3. Montrer que la suite (An) converge vers e.

Polynésie 33 juin 2001

[ Baccalauréat S Antilles - Guyane septembre 2001\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Soitm un nombre réel et f la fonction définie sur R par :

{

f (x) = m sinx pour x ∈ [0 ; π] f (x) = 0 sinon.

1. Déterminer le réelm tel que f soit une densité de probabilité.

2. Représenter f dans un repère orthonormé.

3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.

Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.

4. Calculer la probabilité p

(

π

4 6 X 6

3π

4

)

.

5. Calculer les probabilités p(X > 0) et p(X 6 0).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation d’inconnue z :

z2+8z p 3+64= 0.

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a =−4

p 3−4i et b =−4

p 3+4i.

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe c = p 3+i et par D son image par la rotation

de centre O et d’angle π

3 . Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; −1), (D ; 1 ) et (B ; 1). a. Montrer que le point G a pour affixe g =−4

p 3+6i.

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm).

c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. a. Justifier l’égalité cg ag

= 1 2 + i

p 3

2 .

b. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ GA ,

−−→ GC

)

, ainsi que la va-

leur du rapport GC

GA .

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC?

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

1. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b ; ab)= p, où p est un nombre premier.

a. Démontrer que p divise a2. (On remarquera que a2 = a(a+b)−ab.)

Baccalauréat S L’année 2001

b. En déduire que p divise a.

On constate donc, de même, que p divise b.

c. Démontrer que PGCD(a, b)= p. 2. On désigne par a et b des entiers naturels tels que a6 b.

a. Résoudre le système

{

PGCD(a, b) = 5 PPCM(a, b) = 170

b. En déduire les solutions du système :

{

PGCD(a+b, ab) = 5 PPCM(a, b) = 170

PROBLÈME 11 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. On considère la fonction

f , définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)=−3− lnx+2(lnx)2.

On note (C ) sa courbe représentative.

Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C )

1. a. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation f (x)= 0. (On pourra poser lnx = X ). b. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’inéquation f (x)> 0.

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b. Calculer f ′(x).

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) au point d’abs-

cisse e 5 4 .

4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

Pour cela, on considère la fonction ϕ, définie sur ]0 ; +∞[ par :

ϕ(x)= f (x)− (

4e− 5 4 x− 41

8

)

.

a. Montrer que ϕ′(x)= 4lnx−1

x −4e− 54 puis calculer ϕ′′(x).

b. Étudier le sens de variation de ϕ′ sur ]0 ; +∞[. En déduire que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, on a ϕ′(x)6 0.

c. Calculer ϕ (

e 5 4

)

. Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ déterminer le signe de ϕ(x).

En déduire la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

5. Tracer la courbe (C ) et la droite (T ). (Unité graphique : 2 cm).

Partie B - Calcul d’une aire

1. Vérifier que la fonction h, définie par x 7→ x lnx x, est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞[.

Antilles-Guyane 35 septembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

2. On pose I1 = ∫e

3 2

1 e

lnx dx et I2 = ∫e

3 2

1 e

(lnx)2 dx.

a. Calculer I1.

b. En utilisant une intégration par parties, montrer que I2 = 5

4 e

3 2 − 5

e .

c. Calculer ∫e

3 2

1 e

f (x)dx. En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des

points M(x ; y) du plan tels que 1

e 6 x 6 e

3 2 et f (x)6 y 6 0.

Antilles-Guyane 36 septembre 2001

[ Baccalauréat S Métropole septembre 2001 \

Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indis- cernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deux choix étant équipro- bables) puis à effectuer le tirage d’une boule dans l’urne choisie. On note A l’évènement « l’urne a est choisie » , B l’évènement « l’urne b est choisie » et R l’évènement « une boule rouge est obtenue au tirage ». On note pA (R) la probabilité conditionnelle de l’évènement R par rapport à l’évène- ment A.

1. Dans cette question, l’urne a contient uneboule rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

a. Déterminer les probabilités suivantes : p (A), pA(R), p(A∩R). b. Montrer que

p(R)= 13 30

c. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a ?

2. Dans cette question, on suppose que l’urne a contient quatre boules blanches et l’urne b deux boules blanches. L’urne a contient en outre n boules rouges (où n désigne un entier naturel inférieur ou égal à 5), l’urne b en contient 5−n. a. Exprimer pA (R) et pB (R) en fonction de n.

b. Démontrer que

p(R)= −n2+4n+10 (4+n)(7−n)

.

c. On sait que n ne prend que six valeurs entières. Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de p (R).

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

direct.

Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe −i. Soit f la fonction définie sur C− {i} par :

f (z)= 1− iz z− i

.

1. Vérifier que pour tout z de C− {i}

f (z)=−i+ 2

z− i .

2. a. Démontrer que −i n’a pas d’antécédent par f . b. Déterminer les antécédents de 0 et de i par f .

3. À tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = f (z).

Baccalauréat S L’année 2001

a. Démontrer que pour tout pointM différent de A, le produit des longueurs AM et BM ′ est égal à 2 (AM ·BM ′ = 2).

b. Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M

se déplace sur un cercleC ′ dont on précisera le centre et le rayon.

4. a. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z − i soit un nombre réel non nul.

b. Démontrer que lorsque M décrit E, M ′ se déplace sur une droite ∆ que l’on précisera.

c. Lorsque M décrit E, M ′ décrit-il toute la droite ∆ ?

5. Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f (z) soit un imaginaire pur non nul.

Exercice 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

1. a. Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20.

b. Soit l’équation 168x +20y = 6 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?

c. Soit l’équation 168x +20y = 4 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?

2. a. Déterminer, en utilisant l’algorithme d’Euclide, et en détaillant les calculs effectués, deux entiers relatifsm et p tels que 42m+5p = 1.

b. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 42u+5v = 2. c. Démontrer que le couple d’entiers relatifs (x ; y) est solutionde l’équation

42x+5y = 2 si, et seulement si 42(x+4)= 5(34− y). d. Déterminer tous les couples d’entiers (x ; y) d’entiers relatifs solutions de

l’équation 42x+5y = 2. 3. Déduire du 2. les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation

(42x+5y −3)(42x+5y +3) =−5.

Problème 9 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Le plan est muni d’un repère orthonormal R = (

O, −→ ı ,

−→ )

. L’unité graphique est 1 cm.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= (

x2−3x+1 )

ex .

Soit C la courbe représentative de f dans le repère R.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. a. Étudier le sens de variation de f et donner le tableau de variation de f .

b. Tracer C .

3. Soit

I= ∫0

−3 f (x)dx.

a. Interpréter graphiquement I.

Métropole 38 septembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. En utilisant l’intégration par parties, calculer

∫0

−3 xex dx,

puis

∫0

−3 x2ex dx.

c. En déduire la valeur exacte de I.

Partie B

1. Soit a et b deux nombres réels et g la fonction définie sur R par

g (x)= e(x 2+ax+b).

Quelles sont les valeurs de a et de b pour lesquelles le tableau de variations de g est celui donné ci-dessous ?

x −∞ 32 +∞ g ′ (x) − 0 +

+∞ +∞ g (x) ց ր

e− 5 4

2. Soit h la fonction définie sur R par

h (x)= e(x 2−3x+1)

et Γ sa courbe représentative dans le repère R.

a. Démontrer que la droite D d’équation x = 3 2 est axe de symétrie de Γ.

b. Justifier l’affirmation suivante : « 3,2 est une valeur approchée à 10−1 près d’une solution de l’équation h(x)= 5 ».

c. Soitα un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près. Établir que

0,286 h (α)6 0,47.

Partie C

Soit u une fonction dérivable sur R dont le tableau de variation est donné ci-dessous ( a, b et c étant trois nombres réels).

x −∞ 0 a b +∞

u(x)

+∞

c

0

+∞

Soit v1, v2, v3 les fonctions définies par :

v1(x)= eu(x) v2(x)= u (

ex )

v3(x)=u(x)ex .

Métropole 39 septembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

1. Déterminer le sens de variation des fonctions v1 et v2 (en justifiant votre ré- ponse).

2. Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction v3 (en justifiant votre réponse).

Métropole 40 septembre 2001

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2001 \

Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats

Pour tout naturel n> 1 on pose :

In = 1

2n+1n!

∫1

0 (1− t)ne

t 2 dt .

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

2. Démontrer que pour tout naturel n> 1 on a :

In+1 = In − 1

2n+1(n+1)! .

3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n> 1 on a :

p e= 1+ 1

2 · 1 1!

+·· ·+ 1 2n

· 1 n!

+ In .

4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que :

06 In 6 1

2nn! A.

On pourra déterminer A enmajorant la fonction :

t 7−→ (1− t)ne t 2 sur l’intervalle [0 ; 1]

En déduire la limite quand n tend vers l’infini de :

un = 1+ 1

2 · 1 1!

+·· ·+ 1 2n

· 1 n!

.

Exercice 2 4 points Enseignement obligatoire

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives

zA = 2i, zB = i, zC =−1+ i, zD = 1+ i. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit la fonction f deP - {B} dansP qui au pointM d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ où

z ′ = i z−2i z− i

.

a. Développer (z+1− i)(z−1− i). b. Chercher les points M vérifiant f (M) = M et exprimer leurs affixes sous

forme algébrique puis trigonométrique.

2. a. Montrer que, pour tout z différent de i,

|z ′| = AM BM

,

et que, pour tout z différent de i et de 2i,

arg (

z ′ )

= (−−→ BM ,

−−→ AM

)

+ π 2

(modulo2π).

Baccalauréat S L’année 2001

b. Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que |z ′| = 1.

c. Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que

arg (

z ′ )

= π

2 (modulo 2π).

3. a. Démontrer que z ′− i= 1 z− i

et en déduire que |z ′− i|×|z− i| = 1, pour tout complexe z différent de i.

b. Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1

2 . Prouver que le

point M ′ d’affixe z ′ appartient à un cercle de centre B et de rayon à déter- miner.

Exercice 2 4 points Enseignement de spécialité

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

A ; −→ u ,

−→ v )

, unité

graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par : −−→ AB = 2−→u , −−→AD = 3−→v et C

tel que ABCD soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit E l’image de B par la translation de vecteur −−→ DB . Déterminer l’affixe zE de

E.

2. Déterminer les nombres réels a, b tels que le point F d’affixe zF = 6− i soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients a, b et 1.

3. On considère la similitude s qui transforme A en E et B en F. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′, image deM par s.

a. Exprimer z ′ en fonction de z.

b. Déterminer le centre I, l’angle et le rapport de la similitude s.

c. Déterminer les images de C et de D par s.

d. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD.

4. a. Déterminer l’ensemble Ω des points M du plan tels que : ∥

∥6 −−→ MA −10−−→MB +−−→MC

∥= 9.

b. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de Ω par s.

Problème 11 points

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

. L’unité graphique est 4 cm

sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (2+cosx)e1−x .

On note C la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Montrer que, pour tout x de R : f (x)> 0.

2. a. Montrer que, pour tout x de R : p 2cosx

(

xπ

4

)

= cosx+ sinx.

b. En déduire que, pour tout x de R : 2+cosx+ sinx > 0.

Polynésie 42 septembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.

3. a. Montrer que, pour tout x de R : e1−x 6 f (x)6 3e1−x .

b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞. c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite

de f en +∞. 4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; π], l’équation f (x) = 3 admet une solu-

tion unique α.

b. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. Représenter la courbe C sur [0 ; 4].

Partie B

On veut calculer l’aireA , exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

1. Montrer que : A = 2e−2+ ∫1

0 cos te1−t dt .

2. On pose : I = ∫1

0 cos te1−t dt et J =

∫1

0 sin te1−t dt .

a. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

I=−cos1+e− J et J=−sin1+ I.

b. En déduire la valeur de I.

3. Déterminer la valeur exacte de A en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A si à 10−2 près par défaut.

Partie C

Soit h la fonction définie sur R par :

h(x)=−1− sinx 2+cosx

.

1. a. Montrer que la fonction h admet des primitives sur R.

b. Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1+ ln3). 2. a. Déterminer ln[ f (x)] pour tout x de R.

b. Étudier le sens de variations de la fonction H .

c. Déterminer le tableau de variations de H .

3. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction définie sur R par x 7−→ 1− x + ln(2+ cosx). (On ne demande pas de représenter Γ.) On appelle ∆ la droite d’équation y =−x+1. a. Étudier la position relative de Γ et de ∆.

b. Déterminer les abscisses des points communs à Γ et ∆.

4. a. Établir une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de Γ et T.

5. Montrer que la courbe Γ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

Polynésie 43 septembre 2001

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 2001 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie I

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :

(−1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; −4), (1 ; −4 ; 2), (5 ; −2 ; 4).

On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le

milieu du segment [CD] et −→ BJ = 1

4

−−→ BC .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés.

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est :

8x+9y +5z−12 = 0.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et mon- trer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées.

d. Montrer que :

−→ AL = 1

4

−−→ AD .

Partie II

Plus généralement, dans l’espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du seg- ment [CD].

−→ AL =

1

4

−−→ AD et

−→ BJ =

1

4

−−→ BC

Soit G le barycentre de (A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1).

1. Déterminer les barycentres de {(A, 3), (D, 1)} et le barycentre de {(B, 3), (C, 1)}.

2. En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité gra-

phique : 4 cm. Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de

module 1 et d’argument π

2 .

Soit A le point d’affixe zA =−i et B le point d’affixe zB =−2i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, M distinct de A, associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = iz−2 z+ i

.

Baccalauréat S L’année 2001

1. Démontrer que, si z est un imaginaire pur, z 6= −i, alors z ′ est imaginaire pur. 2. Déterminer les points invariants par l’application f .

3. Calculer ∣

z ′− i ∣

∣×|z+ i|. Montrer que, quand le point M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, le point M ′ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

4. a. Développer (z+ i)2, puis factoriser z2+2iz−2. b. Déterminer et représenter l’ensemble des points M , tels que M ′ soit le

symétrique deM par rapport à O.

5. Déterminer et représenter l’ensemble E des points M , tels que le module de z ′ soit égal à 1. (

On pourra remarquer que z ′ = i (zzB) zzA

.

)

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Partie I

Soit x un nombre réel.

1. Montrer que x4+4= (

x2+2 )2−4x2.

2. En déduire que x4+4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coef- ficients réels.

Partie II

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers A =n2−2n+2 et B = n2+2n+2 et d leur PGCD.

1. Montrer que n4+4 n’est pas premier. 2. Montrer que, tout diviseur de A qui divise n, divise 2.

3. Montrer que, tout diviseur commun de A et B , divise 4n.

4. Dans cette question on suppose que n est impair.

a. Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.

b. Montrer que d divise n.

c. En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

5. On suppose maintenant que n est pair.

a. Montrer que 4 ne divise pas n2−2n+2. b. Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair. c. Montrer que p divise n. En déduire que d = 2. (On pourra s’inspirer de la

démonstration utilisée à la question 4)

PROBLÈME 5 points

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= x− (

x2+4x+3 )

e−x .

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; l’unité graphique est 2 cm.

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire g

Nouvelle-Calédonie 45 décembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

Soit la fonction g définie sur R par :

g (x)= (

x2+2x−1 )

e−x +1.

1. Étudier les limites de g en +∞ et en −∞. 2. Calculer g ′(x) et montrer que g ′(x) et (3− x2) ont le même signe. 3. En déduire le tableau de variations de g .

4. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions dans R. Vérifier que g (0)= 0. On note α la solution non nulle.

b. Prouver que −2,4<α<−2,3. 5. En déduire le signe g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B - Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞. 2. a. Montrer que, pour tout réel x, f ′(x)= g (x).

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

3. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x, est asymptote à la courbe (C ). 4. a. Montrer que la droite (D)et la courbe (C ) se coupent en deux points A et

B dont on donnera les coordonnées.

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ).

5. Construire la courbe (C ) et la droite (D).

Partie C - Calculs d’aire

1. Soit H la fonction définie sur R par :

H(x)= (

ax2+bx+c )

e−x .

Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction H soit une primitive de la fonction h définie par :

h(x)= (

x2+4x+3 )

e−x .

2. Déterminer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe (C ) et la droite (D).

3. Soit m un réel strictement supérieur à −1. On considère le domaine (Dm) délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations respectives x =−1 et x =m. a. Calculer l’aire (Am) du domaine (Dm), en unités d’aire.

b. Déterminer la limite de (Am) lorsquem tend vers +∞.

Nouvelle-Calédonie 46 décembre 2001

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ décembre 2001

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm). On considère la courbe C dont une représentation paramétrique est :

{

x = f (t) où f (t)= 2 (

cos2 t +cos t −1 )

y = g (t) où g (t)= sin3 t + sin t avec t ∈ [−π ; π]

On appelle M(t) le point de la courbe C défini par la valeur t du paramètre.

1. a. Étudier les positions relatives deM(t) etM(−t). b. Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracerC , d’étudier f et g sur [0 ; π].

Soit C ′ la partie de C correspondante.

2. a. Montrer que f ′(t)=−2sin t(2cos t +1). Étudier le signe de f ′ sur [0 ; π]. b. Montrer que g ′(t)= cos t

(

3sin2 t +1 )

. Étudier le signe de g ′ sur [0 ; π].

c. Dans unmême tableau, faire figurer les variations de f et de g sur [0 ; π].

3. On veut déterminer l’intersection de C ′ et de l’axe des ordonnées.

a. A l’aide du 2. montrer que l’équation f (t)= 0 a une unique solution dans [0 ; π].

Soit t0 celle solution.

b. Donner une valeur approchée de t0 à 10−1 près par défaut.

c. Déterminer une valeur approchée de g (t0).

4. Placer les points M(0), M(t0), M (π

2

)

, M(π).

Construire les tangentes à C ′ parallèles aux axes de coordonnées. Tracer C ′

puis en déduire la courbe C .

EXERCICE 2 6 points (d’après Nathan) Commun à tous les candidats

Soit (un ) la suite numérique définie surN par :

{

u0 = 0 un+1 =

p 3un +4

1. a. Montrer que (un ) est majorée par 4.

b. Montrer que (un ) est strictement croissante.

c. En déduire que (un ) converge et déterminer sa limite.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

4−un+1 6 1

2 (4−un ) .

b. Retrouver le résultat du 1. c.

c. Étudier la convergence de la suite (vn) définie surN par :

vn =n2 (4−un ) .

Baccalauréat S L’année 2001

EXERCICE 2 4 points Candidats n’ayant pas pris l’enseignement de spécialité

On considère l’ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Avec deux chiffres distincts x et y de E on crée un unique domino simple noté indif-

féremment x y

ou y x .

Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino double noté z z .

1. Montrer que l’on peut ainsi créer 36 dominos.

2. On tire au hasard un domino.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres pairs ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ?

3. On tire au hasard et simultanément deux dominos.

Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un domino

simple dont l’un des chiffres est celui du domino double est égale à 4

45 ».

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).

EXERCICE 2 4 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Soit n un entier naturel non nul. On considère les nombres a et b tels que :

a = 2n3+5n2+4n+1 et b = 2n2+n.

1. Montrer que 2n+1 divise a et b. 2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n+1.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)

PROBLÈME 10 points.

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= (2x+1)e−2x

et sa courbe représentative C dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité gra-

phique : 2 cm).

Partie A : étude de la fonction f

1. a. Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire pour C ? b. Déterminer la limite de f en −∞.

2. Calculer f ′(x) et étudier le signe de f ′ sur R.

3. Dresser le tableau de variations de f .

4. a. Déterminer les coordonnées du point A d’intersection deC avec l’axe des abscisses.

b. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B : étude d’une tangente

1. On rappelle que f ′′ désigne la dérivée seconde de f .

a. Montrer que, pour tout x réel, f ′′(x)= 4(2x−1)e−2x .

Amérique du Sud 48 décembre 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. Résoudre l’équation f ′′(x)= 0.

2. Soit B le point d’abscisse 1

2 de la courbe C . Déterminer une équation de la

tangente T à C en B.

3. On veut étudier la position relative de C et T : pour cela, on considère la fonction g définie sur R par :

g (x)= f (x)− (

−2 e x+ 3

e

)

.

a. Déterminer g ′(x) et g ′′(x).

b. Étudier le signe de g ′′(x) suivant les valeurs de x.

En déduire le sens de variations de g ′ sur R.

c. En déduire le signe de g ′(x) puis le sens de variation de g sur R.

d. Déterminer alors le signe de g (x) suivant les valeurs de x. Que peut-on en conclure sur la position relative de C et T ?

4. Dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

placer les points A et B puis tracer la tangente T et

la courbe C .

Partie C : calculs d’aire et de volume

1. Soit λ un réel strictement positif.

OnnoteA(λ), l’aire, exprimée enunités d’aire, dudomaine limité par la courbe

C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =−1 2 et x =λ.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer A(λ) en fonction de λ.

b. Déterminer lim λ→+∞

A(λ).

2. a. On considère les fonctions h et H définies sur R respectivement par :

h(x)= (2x+1)2e−4x et H(x)= (

x2− 3 2 x− 5

8

)

e−4x .

Montrer que H est une primitive de h sur R.

b. On considère le domaine E limité par la courbe C , l’axe des abscisses et

les droites d’équations =− 1

2 et x =

1

2 .

On note V le volume du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de l’axe des abscisses.

On rappelle queV, enunités de volume, est exprimépar V=π ∫ 1

2

− 12 | f (x)|2dx.

Déterminer la valeur exacte de V en unités de volume puis une valeur approchée de V à 10−3 près.

Amérique du Sud 49 décembre 2001

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