Travaux pratiques de modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exprimer le complexe,. En déduire une mesure en radians de l’angle.
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Libanjuin2001.dvi

[ Baccalauréat S Liban juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés

de promenades c1, c1, c2, c3, c4, c5.

Partie A

Chaquematin, chacunedes familles tire auhasard, indépendamment l’unede l’autre,

un des cinq circuits.

1. Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l’ensemble des deux familles ?

2. Quelle est la probabilité pour qu’elles fassent le même jour, le même circuit ?

3. Quelle est la probabilité pour que pendant n jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ?

4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trou- ver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9.

Partie B

On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque fa-

mille élimine de son tirage le circuit qu’elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits

pour chacune des deux familles.

On note :

E l’évènement « les deux familles font le même circuit le premier jour ».

F l’évènement « les deux familles font le même circuit le deuxième jour ».

Calculer les probabilités suivantes :

P(E) , P(F/E) , P(F/E) puis P(F ∩ E) et P(F ∩E).

En déduire P(F).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on consi-

dère les points A et B d’affixes respectives zA = 3 + i et zB = 1+2i.

1. Exprimer le complexe zB

zA sous forme algébrique puis sous forme trigonomé-

trique.

2. En déduire une mesure en radians de l’angle (

−−→ OA ,

−−→ OB

)

.

Partie B

Désormais on considère l’espace muni du repère orthonormal direct (O, −→ u ,

−→ v ,

−→ w )

où −→ w =

−→ u

−→ v .

On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et D(0, 0, d) où d désigne un

réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABCD.

1. On pose −→ N =

−−→ AB ∧

−−→ AC .

a. Calculer les coordonnées de N .

b. En déduire l’aire du triangle ABC.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. On note H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. On pose −−→ DH =λ

−→ N .

Calculer λ en fonction de d .

b. En déduire l’expression de la distance DH .

Montrer que le volume du tétraèdre ABCD est Vd = 2d +5

6 .

4. Déterminer pour quelle valeur ded la droite (DB) est perpendiculaire auplan (ABC).

5. On suppose que d = 0 . Calculer la distance de A au plan (OBC).

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct (

Ω ; −→ u ,

−→ v

)

, unité gra-

phique 3 cm.

Partie A

Soit trois droites D1, D2 et D3, sécantes en Ω et de vecteurs directeurs respectifs −→

d1 = −→ u , et

−→

d2 et −→

d3 supposés unitaires et tels que (

−→

d1 , −→

d2

)

=

π

4 et

(

−→

d1 , −→

d3

)

=−

2π

3 .

On note S1, S2 et S3 les réflexions d’axes respectifs D1, D2 et D3, et f la composée S3◦

S2 ◦S1, de ces trois réflexions.

1. Tracer ces trois droites.

2. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma- tion r = S2 ◦S1.

b. Caractériser la réflexion S telle que r = S3 ◦ S . On notera D l’axe de S et on

en déterminera un point et un vecteur directeur −→

d . Tracer la droite D.

c. En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques.

3. Justifier que le point E d’affixe zE = e iπ 12 est un point de la droite D.

Déterminer les nombres complexes a et b tels que la forme complexe de f

soit l’application f1 définie sur C par f1(z)= az+b.

Partie B

1. Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S1 et C l’image de B par S2 . Placer les points B et C .

2. Démontrer que A est l’image de C par S3.

3. Que peut-on dire du point Ω pour le triangle ABC?

Liban 2 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

PROBLÈME 5 points

Partie A - Lectures graphiques

1

2

0 1 2 3 4−1 F

C

On donne dans un repère orthogonal les courbes C et F représentatives de deux

fonctions définies et dérivables sur R. On sait que l’une de ces fonctions est la fonc-

tion dérivée de l’autre, on peut donc les noter g et g ′.

1. Associer à chacune des fonctions g et g ′ sa représentation graphique. On jus-

tifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur l’intervalle

[

3

2 ; 5

]

le signe de g ′(x) et les variations de g .

2. Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse 0 ?

Partie B

Soit l’équation différentielle (E) : y ′+ y = 2(x+1)e−x .

1. Montrer que la fonction f0 définie sur R par f0(x)= (x2+2x)e−x est une solu- tion de l’équation (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E’) : y ′+ y = 0.

3. Soit u une solution de (E’) . Montrer que la fonction f0+u est une solution de (E).

On admettra que, réciproquement, toute solution f de (E) est de la forme

f = f0+u u est une solution de (E’).

En déduire, pour x ∈R , l’expression de f (x) lorsque f est solution de (E).

4. Sachant que la fonction g de la partie A est solution de (E) , déterminer g (x) pour x ∈R.

5. Déterminer la solution h de l’équation (E) dont la représentation graphique admet au point d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.

Partie C

Soit f la fonction numérique définie sur R par : f (x)= (x2+2x+2)e−x .

1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞ .

2. On sait que f est dérivable sur R : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de f .

Liban 3 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique 2 cm, on note C′ la

représentation graphique de f .

a. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C’ au point Ω d’abscisse −1.

b. Tracer avec soin la courbe C′ et la tangente T dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

4. a. Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction F définie par

F (x)= (ax2+bx+c)e−x soit une primitive de la fonction f .

b. Soitα un réel positif. Calculer en cm2 l’aire notéeA (α) de la zone du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C′ et les droites d’équations

respectives x = 0 et x =α.

Liban 4 juin 2001

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