Travaux pratiques de modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité conditionnelle de l’évènement R, Déterminer les antécédents de 0 et de i par f.
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[ Baccalauréat S Métropole septembre 2001 \

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indis- cernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deux choix étant équipro- bables) puis à effectuer le tirage d’une boule dans l’urne choisie. On note A l’évènement « l’urne a est choisie » , B l’évènement « l’urne b est choisie » et R l’évènement « une boule rouge est obtenue au tirage ». On note pA (R) la probabilité conditionnelle de l’évènement R par rapport à l’évène- ment A.

1. Dans cette question, l’urne a contient uneboule rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

a. Déterminer les probabilités suivantes : p (A), pA(R), p(A∩R).

b. Montrer que

p(R)= 13

30

c. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a ?

2. Dans cette question, on suppose que l’urne a contient quatre boules blanches et l’urne b deux boules blanches. L’urne a contient en outre n boules rouges (où n désigne un entier naturel inférieur ou égal à 5), l’urne b en contient 5−n.

a. Exprimer pA (R) et pB (R) en fonction de n.

b. Démontrer que

p(R)= −n2+4n+10

(4+n)(7−n) .

c. On sait que n ne prend que six valeurs entières. Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de p (R).

Exercice 2 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

direct.

Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe −i. Soit f la fonction définie sur C− {i} par :

f (z)= 1− iz

z− i .

1. Vérifier que pour tout z de C− {i}

f (z)=−i+ 2

z− i .

2. a. Démontrer que −i n’a pas d’antécédent par f .

b. Déterminer les antécédents de 0 et de i par f .

3. À tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = f (z).

a. Démontrer que pour tout pointM différent de A, le produit des longueurs AM et BM ′ est égal à 2 (AM ·BM ′ = 2).

b. Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M

se déplace sur un cercleC ′ dont on précisera le centre et le rayon.

4. a. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z − i soit un nombre réel non nul.

b. Démontrer que lorsque M décrit E, M ′ se déplace sur une droite ∆ que l’on précisera.

c. Lorsque M décrit E, M ′ décrit-il toute la droite ∆ ?

5. Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f (z) soit un imaginaire pur non nul.

Exercice 2 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

1. a. Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20.

b. Soit l’équation 168x +20y = 6 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?

c. Soit l’équation 168x +20y = 4 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?

2. a. Déterminer, en utilisant l’algorithme d’Euclide, et en détaillant les calculs effectués, deux entiers relatifsm et p tels que 42m+5p = 1.

b. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 42u+5v = 2.

c. Démontrer que le couple d’entiers relatifs (x ; y) est solutionde l’équation 42x+5y = 2 si, et seulement si 42(x+4)= 5(34− y).

d. Déterminer tous les couples d’entiers (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 42x+5y = 2.

3. Déduire du 2. les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation

(42x+5y −3)(42x+5y +3) =−5.

Problème 9 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Le plan est muni d’un repère orthonormal R = (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité graphique est 1 cm.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= (

x2−3x+1 )

ex .

Soit C la courbe représentative de f dans le repère R.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. a. Étudier le sens de variation de f et donner le tableau de variation de f .

b. Tracer C .

3. Soit

I= ∫0

−3 f (x)dx.

a. Interpréter graphiquement I.

2

b. En utilisant l’intégration par parties, calculer

∫0

−3 xex dx,

puis

∫0

−3 x2ex dx.

c. En déduire la valeur exacte de I.

Partie B

1. Soit a et b deux nombres réels et g la fonction définie sur R par

g (x)= e(x 2+ax+b).

Quelles sont les valeurs de a et de b pour lesquelles le tableau de variations de g est celui donné ci-dessous ?

x −∞ 32 +∞

g ′ (x) − 0 + +∞ +∞

g (x) ց ր

e− 5 4

2. Soit h la fonction définie sur R par

h (x)= e(x 2−3x+1)

et Γ sa courbe représentative dans le repère R.

a. Démontrer que la droite D d’équation x = 3

2 est axe de symétrie de Γ.

b. Justifier l’affirmation suivante : « 3,2 est une valeur approchée à 10−1 près d’une solution de l’équation h(x)= 5 ».

c. Soitα un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près. Établir que

0,286 h (α)6 0,47.

Partie C

Soit u une fonction dérivable sur R dont le tableau de variation est donné ci-dessous ( a, b et c étant trois nombres réels).

x −∞ 0 a b +∞

u(x)

+∞

c

0

+∞

Soit v1, v2, v3 les fonctions définies par :

v1(x)= e u(x) v2(x)= u

(

ex )

v3(x)=u(x)e x .

1. Déterminer le sens de variation des fonctions v1 et v2 (en justifiant votre ré- ponse).

2. Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction v3 (en justifiant votre réponse).

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