Travaux pratiques de sciences mathématiques 1 , Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 1 sur les nombres réels positifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, la dérivée de la fonction g, Le plan.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1969 \

EXERCICE 1

1. Soit la fonction f définie, sur l’ensemble des nombres réels positifs ou nul, par

{

f (0) = 0,

f (x) = xLog x si x > 0,

où Log x représente le logarithme népérien du nombre x.

Etudier les variations de la fonction f , tracer la courbe (C) représentant ces

variations et déterminer les points d’intersection de la courbe (C) avec l’axe

des abscisses.

2. Calculer la dérivée de la fonction g définie, sur l’ensemble des nombres réels

positifs ou nul, par

g (0) = 0,

g (x) = x2Log x x2

2 si x > 0.

Soit h la fonction définie, sur l’ensemble des nombres réels positifs ou nul, par

h(x)= ∣

f (x) ∣

∣ .

Soit (C′) la courbe représentant les variations de la fonction h. Trouver l’aire

de la boucle déterminée par les courbes (C) et (C′).

EXERCICE 2

Montrer que, pour tout entier naturel n, on a

33n+2+2n+4 = 0 (mod5).

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy . SoitJ l’inversion de pôle

O et de puissance 9 et soit E l’ensemble des cercles du plan qui coupent x′Ox en

deux points, M et M ′, inverses dans J .

1. Montrer que tout cercle de E est orthogonal à un cercle fixe, (O), qui coupe

l’axe xx en A et B (l’abscisse de A étant supérieure à celle de B).

Déterminer l’ensemble des centres des cercles de E .

Soit l’équation

(1) x2+ y2−2ax −2by +c = 0.

Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (1) soit

celle d’un cercle de la famille E est c = 9 et a > 9.

2. Soit (D1) une droite non parallèle à y ′Oy et E1 le sous-ensemble de E des

cercles centrés sur (D1). Montrer que E1 est contenu dans un faisceau linéaire

de cercles.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit (D2) la droite d’équation y = 1 et E2 le sous-ensemble de E des cercles

tangents à la droite (D2).

Montrer, à l’aide de l’inversion J , que les cercles de E2 sont tangents à un

cercle fixe, (Γ), dont on précisera le centre et le rayon.

Trouver une condition concernant a,b et c pour que l’équation (1) soit celle

d’un cercle de E2. En déduire l’ensemble des centres des cercles de E2.

4. Soit E3 le sous-ensemble de E des cercles tangents au cercle (C ), de rayon 1,

dont le centre a pour coordonnées (0 ; +2).

Montrer, à l’aide de l’inversion J , que les cercles de E3 sont tangents à un

cercle, (C ′), dont on précisera le centre et le rayon.

Trouver une relation entre a et b pour que l’équation (1) soit celle d’un cercle

de E3. En déduire l’ensemble des centres des cercles de E3, [Il pourra être

utile d’effectuer une translation du repère, la nouvelle origine étant le point

(0 ; +4).]

N. B. - Les questions 2., 3. et 4. sont indépendantes entre elles.

Bordeaux 2 juin 1969

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