Travaux pratiques de sciences mathématiques 2, Exercices de Méthodes Mathématiques

Travaux pratiques de sciences mathématiques 2, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 2 sur l’arc de courbe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’aire de la surface limitée, les couples, le cercle de centre.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1969 \

EXERCICE 1

Dans le plan xOy on considère l’arc de courbe OA représentant, en repère ortho-

normé, les variations de la fonction définie par

y = cos2 x sin2x pour x ∈ [

0 ; π

2

]

1. Tracer cet arc de courbe.

2. Déterminer l’aire de la surface limitée par Ox et l’arc OA.

EXERCICE 2

Trouver tous les couples (x, y) d’entiers relatifs satisfaisant

(1) 11x −5y = 14,

sachant que le couple (19, 39) est une solution de (1).

Montrer qu’il existe un couple et un seul (

x0 ; y0 )

solution de (1) avec

06 x0 < 5.

EXERCICE 3

Soit (Π) le plan rapporté à un repère orthonormé, Ox, Oy . Soit T la transformation

ponctuelle qui à tout point M d’affixe complexe z associe le point M ′ d’affixe com-

plexe (

z )2

(le nombre complexe z étant le complexe conjugué du nombre complexe

z).

Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1.

Partie A

1. Calculer le module et l’argument de (

z )2

en fonction du module et de l’argu-

ment de z.

2. Quels sont les points doubles de la transformation T ? Montrer que la trans-

formation T n’est pas injective.

Partie B

Soit M le point de (C ) tel que (−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

θ (mod2π), M ′ son transformé par T .

Si M n’est pas un point double pour la transformation T , est la droite M M ′. Si M

est un point double, est la tangente en M au cercle (C ).

1. Déterminer θ pour que soit parallèle à Ox.

2. Déterminer θ pour que soit parallèle à Oy .

3. Déterminer θ pour que passe par O.

4. Soit A un point de (C ) qui n’est pas un point double, défini par (−−→ Ox ,

−−→ OA

)

α (mod2π).

Montrer qu’il existe trois droites passant par A ; calculer les valeurs corres-

pondantes de θ en fonction de α.

Montrer que deux de ces droites sont perpendiculaires ; soit M1 et M2 les in-

tersections, distinctes de A, de ces deux droites avec le cercle (C ).

Montrer que la troisième droite est perpendiculaire à la droite M1M2.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie C

1. Montrer que, si le point M a pour coordonnées x et y , le point M ′, transformé

de M par T , a pour coordonnées x2Z y2 et −2x y .

2. Quelle est l’image, par la transformation T , de l’ensemble des points des fi-

gures suivantes :

droite passant par O distincte des axes ;

cercle de centre O et de rayon p 2 ?

3. Montrer que, si une figure (F ) admet Ox pour axe de symétrie, sa transformée,

(F ′), par T admet Ox pour axe de symétrie et que, si une figure (F ) admet

Oy pour axe de symétrie, sa transformée, (F ′), par T admet Ox pour axe de

symétrie.

Trouver l’image par T du carré de côté 2, de centre O, dont les côtés sont pa-

rallèles aux axes Ox et Oy .

Bordeaux 2 septembre 1969

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