Travaux pratiques de sciences mathématiques 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

Travaux pratiques de sciences mathématiques 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 3 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: sous forme trigonométrique, les racines cinquième de z.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Caen juin 1969 \

EXERCICE 1

Trouver le reste de la division du nombre 121527 par 5.

EXERCICE 2

On considère le nombre complexe

z = 9 p 3

2

(

1− i p 3 )

1. Mettre z sous forme trigonométrique.

2. En déduire les racines cinquième de z.

PROBLÈME

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé (R), d’axes Ox et Oy . On désigne par λ et µ deux constantes réelles, avec µ 6= 0. On considère la transformation , µ qui, au point M de coordonnées x et y , fait correspondre le point M ′ = , µ(M), de coordonnées x′ et y ′ données par

{

x′ = x y ′ = λx +µy

1. a. Montrer que , µ est une application bijective du plan (P) sur lui-même. Comment choisir λ et µ pour que , µ soit une application involutive ?

λ et µ étant donnés arbitrairement, avec µ 6= 0, quel est l’ensemble des points invariants par la transformation , µ [c’est-à-dire l’ensemble des points M tels que , µ(M)= M] ?

b. Si M décrit une droite (d), montrer que le point M ′ décrit une droite (d ′). Démontrer que le birapport de l’ensemble ordonné de quatre points ali- gnés est conservé par , µ

c. Montrer que l’ensemble des points M pour lesquels il existe un nombre réel s tel que

−−−→ OM ′ = s

−−−→ OM

se compose, si µ 6= −1, de deux droites, chacune de ces droites corres- pondant à une valeur de s que l’on précisera.

Que devient cet ensemble si µ= 1 ? 2. On considère l’ensemble (E) de toutes les transformations , µ pour λ et µ

réels et µ 6= 0. a. Définir le produit de la transformation , µ par la transformation ′, µ′ .

Montrer que l’ensemble (E) admet, pour ce produit, une structure de groupe.

b. Montrer que ce groupe n’est pas commutatif, mais qu’à une transfor- mation donnée, , µ, on peut associer une infinité de transformations ′, µ′ telles que

, µ ′, µ′ = ′, µ′ ◦, µ.

Par quelle équationλ,µ,λ′ ,µ′ doivent-ils être liés pour qu’il en soit ainsi ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Dans ce paragraphe, on étudie la transformation T = T1, 1 définie par

x′ = x et y ′ = x + y.

a. Quelle est l’équation du transformé, (C′), du cercle (C) de centre O et de rayon 1 ?

b. On considère le repère orthonormé (R′) défini par les axes OX et OY ob- tenus respectivement en faisant subir aux axes Ox et Oy une rotation de

centre O et d’angle α tel que 0<α< π

2 dans le sens direct.

Écrire l’équation de la courbe (C′) dans le repère (R′). Déterminer α pour que cette équationne contiennepas de terme en X Y . (On calculera sin2α et cos2α.)

c. Reconnaître et tracer la courbe (C′). Calculer l’aire du domaine intérieur à (C′).

d. Soit (Σ) l’intersection des domaines intérieurs à (C) et à (C′). Montrer que les quatre domaines intérieurs à (C) ou à (C′) et extérieurs à (Σ) ont des aires égales.

Caen 2 juin 1969

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