Travaux pratiques de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

Travaux pratiques de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 4 sur les entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, le nombre réel donné.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Caen septembre 1969 \

EXERCICE 1

Déterminer les entiers naturels n tels que le nombre N défini par

N = n3+n−2

soit divisible par 7.

EXERCICE 2

On donne le nombre complexe z = 3+4i.

Soient z1 et z2 ses racines carrées. Placer, dans un repère orthonormé (unité : 1 cm),

les images, M ,M1 et M2, des trois nombres z,z1 et z2.

Déterminer z1 et z2 par leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.

EXERCICE 3

Dans un plan, on considère deux axes orthonormés x′Ox et y ′Oy ayant la même

origine O. On désigne par A le point de coordonnées (0 ; −4) et par B le point de

coordonnées (0 ; +4). Soit u′Au et v ′Bv deux axes ayant respectivement pour origine

les points A et B, tous deux parallèles à x′Ox et orientés dans le même sens que lui.

Soit k un nombre réel donné.

On considère l’application f qui, au point M de u′Au d’abscisse AM = m, associe,

s’il existe, le point P de v ′Bv d’abscisse BP = p telle que

pm p m k = 0.

(Les unités de longueur sur u′Au et sur v ′Bv , sont les mêmes que sur x′Ox.)

1. Quel est le point I de u′Au où l’application n’est pas définie ?

Montrer que, si k 6= −1, f est une application bijective de la droite u′Au privée

du point I sur la droite v ′Bv privée d’un point J que l’on déterminera.

Que se passe-t-il si k =−1 ?

2. M et N désignant deux points de l’axe u′Au, on désigne par M N la mesure al-

gébrique, sur l’axe u′Au, du vecteur −−−→ M N . De la même façon, P etQ désignant

deux points de l’axe v ′Bv , on désignera par PQ la mesure algébrique, sur l’axe

v ′Bv , du vecteur −−→ PQ .

a. Montrer que IM · JP = k +1.

b. Soit quatre points, M1,M2,M3 et M4 de l’axe u ′Au, distincts deux à deux

et distincts de I. On appelle P1,P2,P3 et P4 leurs images par f .

Montrer que, si k 6= −1, le birapport de l’ensemble ordonné des quatre

points M1,M2,M3 et M4 est égal au birapport de l’ensemble ordonné des

quatre points P1,P2,P3 et P4.

Que peut-on dire des points P1,P2,P3 et P4 si l’ensemble ordonné des

quatre points M1,M2,M3 et M4 forme une division harmonique ?

3. a. Soit M0 et M deux points de l’axe u ′Au, différents de I, et soit P0 et P

leurs images respectives par f . Démontrer analytiquement que, si

k 6= −1, l’ensemble des points d’intersection des droites M0P et MP0,

lorsque M0 reste fixe et M parcourt l’axe u ′Au privé du point I, est une

droite privée de deux points.

En déduire une construction de P , connaissant M ,M0 et P .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. k étant toujours supposé différent de−1, donner l’équation représentant

la droiteMPdans le systèmed’axes (x′Ox, y ′Oy). Soit X et Y les coordon-

nées d’un point C quelconque du plan.

Comment choisir X et Y pour qu’il existe une droite P M et une seule

passant par C ?

Montrer que l’ensemble des points C possédant la propriété précédente

se composededeuxdroites privées chacuned’unpoint et d’un ensemble

(Ck ) dépendant de k.

Reconnaitre la nature de l’ensemble (Ck ) suivant les valeurs de k et tracer

sur une même figure (C0) et (C−1).

Caen 2 septembre 1969

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